\begin{propriete}Soit $X_n$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n\ ;\ p)$ et  $\alpha \in ]0\ ;\ 1[$.

Alors, d'après le \MotDefinition[Théorème de Moivre-Laplace]{théorème de Moivre-Laplace}{},		
\vspace{-0.25\baselineskip}\begin{center}
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} P\left(\cfrac{X_n}{n}\in I_{n}\right)\geqslant 1-\alpha$
\end{center}
\vspace{-0.25\baselineskip}où $I_{n}=\left[p-u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\ ;\ p+u_{\alpha}\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ avec $u_{\alpha}$ qui est le nombre tel que ${P(-u_{\alpha}\leqslant Z\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha}$ lorsque $Z$ suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$.


$I_n$ est appelé \MotDefinition[intervalle de fluctuation\protect\\ asymptotique]{intervalle de fluctuation asymptotique}[intervalle de fluctuation asymptotique]{} de $\cfrac{X_n}{n}$ au seuil de $1-\alpha$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
  \item Soit $\alpha\in ]0\ ;\ 1[$ et $Z$ suivant la loi $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$ : il existe $u_{\alpha}$ tel que $P(-u_{\alpha}\leqslant Z\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$.
  \item D'autre part, comme $E(X_n)=np$ et $\sigma(X_n)=\sqrt{np(1-p)}$, d'après Moivre-Laplace :

   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} P\left(-u_{\alpha}\leqslant \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant u_{\alpha}\right)=P(-u_{\alpha}\leqslant Z\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$, or
\end{itemize}
        \vspace{-.8\baselineskip}\begin{eqnarray*}
            -u_{\alpha}\leqslant \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant u_{\alpha} &\Leftrightarrow& -u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)}\leqslant X_n-np\leqslant u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \\
            &\Leftrightarrow& np-u_{\alpha}\sqrt{n}\sqrt{p(1-p)}\leqslant X_n\leqslant np+u_{\alpha}\sqrt{n}\sqrt{p(1-p)} \\
            &\Leftrightarrow& p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leqslant \dfrac{X_n}{n}\leqslant p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}
         \end{eqnarray*}


\vspace{-0.5\baselineskip}donc $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} P\left(p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\leqslant \dfrac{X_n}{n}\leqslant p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha$.
\end{preuve}
	
	
\begin{valeurspart}On obtient comme intervalles de fluctuation asymptotiques :
\begin{itemize}
	\item ${I_{n}=\left[p-\nombre{1,96} \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\ ;\ {p+\nombre{1,96} \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\right]}$ au seuil de \upc{95} ;\smallskip
			\item \strut${I_{n}=\left[p-\nombre{2,58} \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\ ;\ {p+\nombre{2,58} \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\right]}$ au seuil de \upc{99}.
\end{itemize}
\end{valeurspart}

\vspace{-3mm}
	
	
\begin{remarque}En pratique, ces deux intervalles permettent des \textbf{prises de décisions} au seuil de $\upc{95}$ ou de $\upc{99}$
sous les conditions suivantes : $n\geqslant 30$, $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$.
%\begin{itemize}
	%\item
	%\item Il faut connaître les deux exemples précédents, qui .
	%\item Pour tout $p$ de $]0;1[$, on a $1,96\sqrt{p(1-p)}\leqslant 1$ : on en déduit donc la propriété suivante, qui permet de retrouver l'intervalle de fluctuation vu en seconde.
%\end{itemize}
\end{remarque}

