\section{\MotDefinition{Prise de décision}{}}
	

\begin{methode*1}[Tester une hypothèse en étudiant un échantillon \MethodeRefExercice*{exmethode1-SP3}]\label{methode1-SP3}

On considère une population dans laquelle on souhaite savoir si la proportion d'individus vérifiant une certaine propriété est $p$ : c'est l'hypothèse à tester.

  Pour cela, on détermine d'abord sous cette hypothèse un intervalle de fluctuation asymptotique $I$ (à un certain seuil) de la fréquence du caractère dans un échantillon de taille $n$ prélevé dans la population (en admettant que ce prélèvement est assimilable à des tirages avec remise). Puis on observe effectivement cette fréquence $f$ dans un échantillon donné et :
  \begin{itemize}
    \item si $f\notin I$ alors on rejette l'hypothèse que la proportion est $p$ au seuil considéré ;
    \item si $f\in I$ alors on ne rejette pas l'hypothèse que la proportion est $p$ au seuil considéré.
  \end{itemize}

  \exercice


Le pourcentage de personnes du groupe sanguin O dans la population française est de $\upc{43}$.

On souhaite déterminer si l'on peut faire la même hypothèse pour d'autres populations, en étudiant des échantillons de $250$ personnes dans ces populations (dont on suppose qu'elles sont suffisamment grandes pour assimiler ces prélèvements d'échantillons à des tirages avec remise).

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes du groupe O dans un échantillon de $250$ personnes issu d'une population dont \upc{43} des individus sont du groupe O.
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
         \item Quelle loi suit $X$ ?
	     \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des individus du groupe O au seuil de $\upc{95}$ dans un tel échantillon. Arrondir à $10^{-3}$ près.
       \end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On observe pour un échantillon de la population canadienne une proportion de $\upc{47}$ d'individus du groupe O.

Peut-on rejeter l'hypothèse que $\upc{43}$ des Canadiens sont du groupe O ?
		\item On observe pour un échantillon de Basques : 138 individus du groupe O parmi les 250 personnes de l'échantillon.

Peut-on rejeter l'hypothèse que $\upc{43}$ des Basques sont du groupe O ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \correction

\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
		\item \begin{enumerate}
          \item $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=250$ et $p=\nombre{0,43}$.
		\item On a $n=250\geqslant 30$, $np=250\times \nombre{0,43}\geqslant 5$ et ${n(1-p)=250\times (1-\nombre{0,43})\geqslant 5}$ : les conditions sont bien vérifiées.		
		On a alors :
\begin{itemize}
  \item $p-\nombre{1,96} \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}=\nombre{0,43}-\nombre{1,96}\times \cfrac{\sqrt{\nombre{0,43}\times(1-\nombre{0,43})}}{\sqrt{n}}\approx \nombre{0,368}$ (arrondi par défaut) ;
  \item $p+\nombre{1,96} \cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}=\nombre{0,43}+\nombre{1,96}\times \cfrac{\sqrt{\nombre{0,43}\times(1-\nombre{0,43})}}{\sqrt{n}}\approx \nombre{0,492}$ (arrondi par excès).
\end{itemize}
		L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $\upc{95}$ est donc $I=[\nombre{0,368}\ ;\ \nombre{0,492}]$.
        \end{enumerate}			
		\item
		\begin{enumerate}
			\item La fréquence observée est de
                          $\nombre{0,47}$ et appartient donc à
                          l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$
                          : au seuil de $\upc{95} $, on ne peut pas
                          rejeter l'hypothèse que la proportion de
                          Canadiens du groupe O est de $\upc{43}$,
                          mais on ne peut pas affirmer que c'est le cas.
			\item La fréquence observée est de $\cfrac{138}{250}=\nombre{0,552}$ et n'appartient donc pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ : au seuil de $\upc{95}$, on peut rejeter l'hypothèse que la proposition de Basques du groupe O est de $\upc{43}$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}



\vspace{-2\baselineskip}

~~
\end{methode*1}

