\begin{exercice*}\ExerciceRefMethode{methode1-SP3}
\label{exmethode1-SP3}

Un producteur de jus de pomme a constaté que $\upc{4}$ de sa production n'avait pas pu être commercialisée l'an dernier à cause d'une teneur en sucre trop élevée.

Il décide de tester un échantillon de sa nouvelle production pour savoir si la proportion de bouteilles non commercialisables est différente de celle de l'année\linebreak dernière.

 Il choisit au hasard dans sa production $598$ bouteilles, et compte le nombre $X$ de bouteilles non commercialisables (on suppose que le volume de sa production est tel que l'on peut assimiler le choix de cet échantillon à un tirage au sort avec remise).
\begin{enumerate}
	\item Quelle loi suit $X$ sous l'hypothèse où la proportion de bouteilles non commercialisables n'aurait pas évolué d'une année sur l'autre ?
	\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de bouteilles non commercialisables au seuil de $\upc{95}$ dans cet échantillon.
	\item Le producteur trouve finalement $19$ bouteilles non commercialisables.

Peut-il affirmer qu'il a fait mieux que l'an dernier ?
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=598$ et $p=\nombre{0,04}$.
  \item Les conditions d'utilisation sont réunies :

  $\left[\nombre{0,04}-\nombre{1,96}\dfrac{\sqrt{\nombre{0,04}\times\nombre{0,96}}}{\sqrt{598}}\ ;\ \nombre{0,04}-\nombre{1,96}\dfrac{\sqrt{\nombre{0,04}\times\nombre{0,96}}}{\sqrt{598}}\right]$ soit $[\nombre{0,024}\ ;\ \nombre{0,056}]$ à $10^{-3}$ près.
  \item $f=\dfrac{19}{598}\approx \nombre{0,032}$ donc $f$ est dans
    l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \upc{95}. Le
    producteur n'a pas fait mieux que l'an dernier.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

