  \begin{exercice}
    Lors du second tour d'une élection qui opposait deux candidats A
    et B, le candidat B a remporté la mise avec 51~\% des voix.  On
    s'intéresse à un sondage portant sur \nombre{1000} personnes tirées au sort
    et réalisé juste avant l'élection.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95~\% de
      la fréquence des voix pour le candidat B.
    \item Le sondage avait donné le candidat B perdant avec 488
      opinions favorables parmi les personnes interrogées. Peut-on
      mettre en cause la réalisation du sondage ?
\end{enumerate}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item $\left[\nombre{0,51}-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\ ;\ \nombre{0,51}+\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\right]$ soit $[\nombre{0,478}\ ;\ \nombre{0,542}]$ arrondi à $10^{-3}$ près
  \item Il ne peut pas être sûr de gagner, au seuil de $\upc{95}$, car il pourrait très bien avoir \upc{49} des voix par exemple, auquel cas, il serait perdant.
  \item Pour un sondage sur $n$ personnes, l'intervalle de confiance est $\left[\nombre{0,51}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ \nombre{0,51}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$, il s'agit donc de résoudre

      $\nombre{0,51}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\nombre{0,50}\Leftrightarrow \nombre{0,01}>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow 100<\sqrt{n}$

      $\Leftrightarrow n>\nombre{10000}$ autrement dit, il faudrait sonder \nombre{10001} personnes ou plus.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}
