\begin{exercice}[Intervalle de fluctuation unilatéral][\roc]

Dans certains cas, en fonction de l'hypothèse à tester, il peut-être plus intéressant de s'intéresser à des intervalles de fluctuation dits unilatéraux, de la forme $[0\ ;\ a]$ ou $[a\ ;\ 1]$.

Le but de cet exercice est de déterminer d'autres types d'intervalles de fluctuation asymptotiques, non centrés sur la valeur $p$, mais toujours en utilisant le théorème Moivre-Laplace.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ et $s\in]0\ ;\ 1[$.

On cherche à déterminer, à l'aide du théorème de Moivre-Laplace, un intervalle $I=[0 \ ;\ a]$ tel que $P\left(\dfrac{X}{n}\in I\right)\geqslant s$.
\begin{enumerate}
	\item Soit $Z$ la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\begin{center}
$f(x)=P(Z\leqslant x)$.
\end{center}

Montrer que $f$ est une fonction continue, strictement croissante, et déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
		\item En déduire qu'il existe un unique réel $u$ tel que $P(Z\leqslant u)=s$.
		\item Montrer que :
\begin{center}
$\cfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant u \Leftrightarrow \cfrac{X}{n}\leqslant p+u\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$.
\end{center}
		\item On sait d'après le théorème de Moivre-Laplace que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}P\left(\cfrac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant u\right)=P(Z\leqslant u)$.
	Conclure en trouvant un intervalle de fluctuation asymptotique (dépendant de $u$) de la fréquence $\dfrac{X}{n}$ au seuil $s$.\label{ifa_non_centre}
	\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Application :} Un fabricant d'assiettes \og un peu louche \fg{} affirme que ses produits présentent très peu de défaut. Il affirme que cela ne concerne que $\upc{3}$ de sa production.
	
	On va tester son hypothèse sur un échantillon de $\nombre{3000}$ assiettes.	
	\begin{enumerate}
		\item \`A l'aide de la question \RefItem{ifa_non_centre}, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la forme $[0\ ;\ a]$ au seuil de \upc{95}.
		\item On a trouvé $267$ assiettes fêlées dans l'échantillon. Que peut-on en conclure ?
	\end{enumerate}
	
	\item Comment trouver un intervalle de fluctuation asymptotique de $\dfrac{X}{n}$ de la forme $[a\ ;\ 1]$ au seuil de \upc{95} ?
	
	\item Dans chacun des cas suivants, préciser s'il vaut mieux
          privilégier un intervalle de fluctuation asymptotique \og
          classique \fg{} ou un intervalle de fluctuation unilatéral
          asymptotique (à préciser).
	\begin{itemize}
		\item On cherche à tester la côte de popularité d'un homme politique.
		\item On cherche à tester la proportion de tickets\linebreak gagnants dans une tombola.
		\item On cherche à tester le taux de guérison en une semaine pour un médicament par rapport à celui, connu, d'un placebo.
	\end{itemize}	
\end{enumerate}
\end{exercice}



