\begin{activite}[Contrôle de qualité\hfill\tice]

\vspace{-0.25\baselineskip}Une entreprise fabrique des vis en acier. Elle affirme que \upc{5} des vis qu'elle produit ont un défaut à la fin de la chaîne de production.

La responsable du \MotDefinition{contrôle qualité}{} prélève un échantillon de $n$ vis (au vu du grand nombre de vis produites, on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise) pour effectuer une analyse.

\partie[Avec $n=200$]

La contrôleuse prélève un échantillon de $200$ vis au hasard.\label{acti3}

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de vis avec défaut qui suit donc une loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=\nombre{0,05}$ sous l'hypothèse de l'énoncé, et $F=\dfrac{X}{200}$ la variable aléatoire donnant la fréquence des vis défectueuses dans l'échantillon.

On donne les éléments ci-dessous obtenus avec un tableur : un graphique représentant en partie cette loi et un tableau de valeurs (les probabilités sont arrondies à 10$^{-3}$).

\medskip

\vspace{-0.25\baselineskip}\begin{minipage}{0.5\linewidth}


\vspace{0.35\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.25,yscale=33]

 \draw[quadrillageNIV2, xstep=2, ystep=0.02] (-2,-0.02) grid (22,0.14);

\axeX{-2}{22}{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20};
\axeY{-0.02}{0.14}{0.02};%,0.10};

%\clip(-2,-0.02) rectangle (22,0.14);


\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (1.9,0) rectangle (2.1,0.002);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (2.9,0) rectangle (3.1,0.007);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (3.9,0) rectangle (4.1,0.017);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (4.9,0) rectangle (5.1,0.036);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (5.9,0) rectangle (6.1,0.061);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (6.9,0) rectangle (7.1,0.09);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (7.9,0) rectangle (8.1,0.114);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (8.9,0) rectangle (9.1,0.128);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (9.9,0) rectangle (10.1,0.128);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (10.9,0) rectangle (11.1,0.117);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (11.9,0) rectangle (12.1,0.097);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (12.9,0) rectangle (13.1,0.074);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (13.9,0) rectangle (14.1,0.052);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (14.9,0) rectangle (15.1,0.034);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (15.9,0) rectangle (16.1,0.021);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (16.9,0) rectangle (17.1,0.012);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (17.9,0) rectangle (18.1,0.006);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (18.9,0) rectangle (19.1,0.003);
\draw[fill, fill opacity=1,color=A1] (19.9,0) rectangle (20.1,0.001);

\draw (22,0) node[below] {$k$};
\draw (0,0.08) node[above, rotate=90] {$P(X=k)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{multicols}{2}

  \begin{tableau}[L]{\linewidth}{2}{>{\centering}m{1cm}}\hline
  $k$ & $P(X\leqslant k)$ \\\hline
  2 & \nombre{0,002}\\\hline
  3 & \nombre{0,009}\\\hline
  4 & \nombre{0,026}\\\hline
  5 & \nombre{0,062}\\\hline
  6 & \nombre{0,124}\\\hline
  7 & \nombre{0,213}\\\hline
  8 & \nombre{0,327}\\\hline
  9 & \nombre{0,455}\\\hline
  10 & \nombre{0,583}\\\hline
  %11 & \nombre{0,700}\\\hline
  \end{tableau}

  \columnbreak

  \begin{tableau}[L]{\linewidth}{2}{>{\centering}m{1cm}}\hline
  $k$ & $P(X\leqslant k)$ \\\hline
  11 & \nombre{0,700}\\\hline
  12 & \nombre{0,796}\\\hline
  13 & \nombre{0,870}\\\hline
  14 & \nombre{0,922}\\\hline
  15 & \nombre{0,956}\\\hline
  16 & \nombre{0,976}\\\hline
  17 & \nombre{0,988}\\\hline
  18 & \nombre{0,994}\\\hline
  19 & \nombre{0,997}\\\hline
  %20 & \nombre{0,999}\\\hline
  \end{tableau}

\end{multicols}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Peut-on dire que la probabilité qu'elle relève exactement 3 vis avec défaut est élevée ?
\item La probabilité qu'elle relève entre 6 et 10 vis avec défaut est-elle supérieure à 0,6 ?
\item
\begin{enumerate}
\item Trouver la plus petite valeur de l'entier $b$ tel que $P(4\leqslant X \leqslant b)\geqslant \nombre{0,95}$.
\item En déduire un intervalle $[f_1\ ;\ f_2 ]$ tel que $P(f_1 \leqslant F \leqslant f_2)\geqslant \nombre{0,95}$.\label{acti1}
\end{enumerate}
\begin{cadre}[A1][A4] On dit que l'intervalle $[\nombre{0,02}\ ;\
  \nombre{0,08} ]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de
  \upc{95} de la variable aléatoire $F$ donnant la fréquence : cela
  signifie qu'il y a au moins \upc{95} de chance que la fréquence des vis défectueuses (dans cet échantillon de 200 vis) soit dans cet intervalle.
\end{cadre}

\item
\begin{enumerate}
\item Proposer un autre intervalle $[c\ ;\ d ]$ (avec $c$ et $d$ entiers) tel que $P(c\leqslant X \leqslant d) \geqslant \nombre{0,95}$.
\item En déduire un autre intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95} de la variable aléatoire $F$.\label{acti2}
\end{enumerate}


\item ~~

\vspace{-0.75\baselineskip}\begin{cadre}[A1][A4] En Première, pour déterminer un tel intervalle, on appliquait la méthode suivante :
\begin{itemize}
\item on cherche le plus petit entier $a$ tel que $P(X\leqslant a) >\nombre{0,025}$ ;
\item on cherche le plus petit entier $b$ tel que $P(X\leqslant b) \geqslant \nombre{0,975}$ ;
\item on calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de \upc{95} donné par $\left[\dfrac an\ ;\ \dfrac bn\right]$ où $n$ correspond au paramètre $n$ de la loi binomiale utilisée.
\end{itemize}
\end{cadre}
 Lequel des deux intervalles trouvés aux questions \RefItem{acti1} et \RefItem{acti2} obtient-on avec cette méthode ?
\end{enumerate}

\partie[Avec $n$ quelconque et des résultats de Terminale]

La contrôleuse prélève un échantillon de $n$ vis au hasard et on note :
\begin{itemize}
  \item $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de vis défectueuses, qui suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\nombre{0,05}$ ;
  \item $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ la variable aléatoire donnant la fréquence des vis défectueuses dans l'échantillon ;
  \item $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ la variable aléatoire centrée réduite associée à $X_n$.
\end{itemize}
\vspace{-0.75\baselineskip}\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Moivre-Laplace, que peut-on dire de $P(u \leqslant Z_n  \leqslant v)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\item Que peut-on en déduire pour $P(-\nombre{1,96} \leqslant Z_n  \leqslant \nombre{1,96} )$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\item En déduire un intervalle $[f_1\ ;\ f_2]$ dépendant de $p$ et $n$ tel que $P(f_1 \leqslant F_n  \leqslant f_2)\approx \nombre{0,95}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ (on admettra que $P(f_1 \leqslant F_n  \leqslant f_2)\geqslant \nombre{0,95}$  quand $n$ tend vers $+\infty$).
\end{enumerate}

\vspace{-0.75\baselineskip}\begin{cadre}[A1][A4]
Cet intervalle obtenu grâce à une limite est dit \textbf{intervalle de fluctuation asymptotique} de $F_n$ au seuil de \upc{95}.

Lorsque l'on réalise $n$ tirages avec remise (ou $n$ tirages assimilables à des tirages avec\linebreak remise, comme c'est le cas ici), cet intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \upc{95} de la fréquence des succès est donné par
 $\left[p-\nombre{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\nombre{1,96}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$
où $p$ est la probabilité d'un succès.
\end{cadre}

\partie[Comparaison des intervalles obtenus]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \upc{95} dans le cas $n=200$ (arrondir à 10$^{-3}$).
\item Comparer cet intervalle avec celui obtenu par la méthode de Première de la partie \RefPartie{acti3}.
\end{enumerate}
\item On donne le tableau ci-dessous regroupant des intervalles de fluctuation au seuil de \upc{95} obtenus avec la méthode de Première pour $p=\nombre{0,05}$ et différentes valeurs de $n$  :

\begin{tableau}[C]{1\linewidth}{4}{>{\centering}m{6cm}}\hline
Pour $n=$ & 30 & 500 & 1000  \\\hline
Intervalle de fluctuation & $[\nombre{0}\ ;\ \nombre{0,133} ]$ & $[\nombre{0,032}\ ;\ \nombre{0,07} ]$ & $[\nombre{0,037}\ ;\ \nombre{0,064} ]$ \\\hline
Intervalle de fluctuation asymptotique &  &  &  \\\hline
\end{tableau}
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le tableau en calculant les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de \upc{95} correspondant à chaque valeur de $n$.
  \item Que peut-on dire des intervalles présents dans chaque colonne quand $n$ augmente ?

\begin{cadre}[A1][A4] Cet intervalle de fluctuation asymptotique est plus facile à déterminer que l'intervalle de fluctuation obtenu avec la méthode de Première. On estime qu'il en donne une approximation satisfaisante lorsque ${n\geqslant 30}$, $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$.
\end{cadre}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\vspace{-0.75\baselineskip}\partie[Prise de décision]

La contrôleuse a finalement choisi de prélever 400 vis et 26 d'entre elles ont un défaut.

Elle demandera un nouveau réglage des machines si la fréquence observée n'est pas dans\linebreak l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \upc{95}.

Que va t-elle décider ?
\end{activite}
