\begin{theoreme}[\roc{}]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$ et $\alpha\in ]0\ ;\ 1[$. Alors il existe un unique réel $u_{\alpha}>0$ tel que $P(-u_{\alpha}\leqslant X\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$.
\end{theoreme}

\vspace{-0.15\baselineskip}\begin{preuve}
Soit $\alpha\in]0\ ;\ 1[$, on a alors $1-\alpha\in]0\ ;\ 1[$.

\vspace{-.5\baselineskip}

Sur $[0\ ;\ +\infty[$, soit $f:x\mapsto P(-x\leqslant X\leqslant x)=2P(0\leqslant X\leqslant x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\cfrac{t^2}{2}}\textrm{d}t$


par symétrie de la fonction de densité de la loi $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$.

\vspace{-.25\baselineskip}

Comme $g:x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\cfrac{t^2}{2}}\textrm{d} t$ est une primitive de $t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\cfrac{t^2}{2}}$ : \begin{tikzpicture}[general,xscale=0.6,yscale=1.8,overlay,xshift=4cm]
\fill[color=J1](-1.5,0)--(-1.5,0.1295) -- plot [domain=-1.5:0] (\x,{0.3989*exp{-0.5*\x*\x}})--(0,0.39894)-- (0,0) -- cycle;
\fill[color=H1](0,0) -- (0,0.39894)-- plot [domain=0:1.5] (\x,{0.3989*exp{-0.5*\x*\x}})-- (1.5,0.1295)--(1.5,0) -- cycle;
\axeX{-3}{3}{0};
\axeY{0}{0.55}{};
\draw[domain=-3:3,epais,samples=100,color=A1] plot(\x,{0.3989*exp{-0.5*\x*\x}});
\draw(1.5,0) node[below] {{\small $x$}};
\draw(-1.5,0) node[below] {{\small $-x$}};
\draw(0,0.075) node {{\footnotesize $P(-x\leqslant X\leqslant x)$}};
%\draw(-0.75,0.075) node {{\footnotesize $P(-x\leqslant X\leqslant 0)$}};
\end{tikzpicture}
\begin{itemize}
  \item $f=2g$ est dérivable donc \textbf{continue} sur $[0\ ;\ +\infty[$ ;

\vspace{-.25\baselineskip}
  \item $f'(x)=2g'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\cfrac{x^2}{2}}>0$ donc $f$ est \textbf{strictement croissante} sur $[0\ ;\ +\infty[$.
\end{itemize}

De plus, $f(0)=P(-0\leqslant X\leqslant 0)=P(X=0)=0$,
${\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow
    +\infty} P(-x\leqslant X\leqslant x)=1}$
par définition d'une loi à densité. Comme
$\mathbf{1-}\alpha\mathbf{\in[0\ ;\ 1[}$, d'après le théorème de
bijection, l'équation $f(x)=1-\alpha$ admet une unique solution notée
$u_{\alpha}$ sur $[0\ ;\ +\infty[$ c'est-à-dire qu'il existe un unique
réel $u_{\alpha}> 0$ tel que
$P(-u_{\alpha}\leqslant X\leqslant u_{\alpha})=1-\alpha$.
\end{preuve}

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{valeurspart}En particulier, $u_{\nombre{0,05}} \approx \nombre{1,96}$ et $u_{\nombre{0,01}}\approx \nombre{2,58}$.

Autrement dit, $P(\nombre{-1,96}\leqslant X\leqslant \nombre{1,96})\approx \nombre{0,95}$ et $P(\nombre{-2,58}\leqslant X\leqslant \nombre{2,58})\approx \nombre{0,99}$.
\end{valeurspart}

