\begin{enigme}[Un marché pas normal !]\smallskip

De nombreux modèles de marchés financiers partent du principe que la variation de la valeur d'une action sur un certain intervalle de temps (par heure, on aurait par exemple, de 8h à 9h : baisse de \upc{0,1}, de 9h à 10h : hausse de \upc{0,08}, etc.) peut être modélisée par une loi normale.\smallskip


\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Ceci est dû au fait que quand on observe effectivement ces variations en pourcentages sur de nombreux intervalles de temps et qu'on représente graphiquement la série statistique obtenue, on obtient généralement des histogrammes que l'on peut approximer par de belles courbes en cloche comme ci-contre.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
 \vspace{-2\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.5,yscale=3]
\draw[domain=-5:5,epais,color=H1,samples=100] plot(\x,{(1/(3.1415))*(0.85/(\x*\x+0.85*0.85)});

\axeX{-5}{5}{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5};
\axeY{0}{0.5}{0.1};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}







\begin{minipage}{0.65\linewidth}
   Malheureusement cette courbe, bien que lui ressemblant n'est pas du tout celle d'une densité de la loi normale, ajoutons la courbe de densité de la loi $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$ pour en observer les différences.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
 \vspace{0\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.5,yscale=3]
\draw[domain=-5:5,epais,color=J1,samples=100] plot(\x,{(1/(2.5066))*exp((-1/(2))*(\x)*(\x))});
\draw[domain=-5:5,epais,color=H1,samples=100] plot(\x,{(1/(3.1415))*(0.85/(\x*\x+0.85*0.85)});
\axeX{-5}{5}{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5};
\axeY{0}{0.5}{0.1};
\end{tikzpicture}
\end{center}  
\end{minipage}





%\vspace{-0.5\baselineskip}

Au premier abord, ces différences semblent minimes mais considérons deux modèles fictifs (et simplifiés !) :
\begin{itemize}
  \item le modèle 1  où l'évolution de la valeur d'une action sur une heure, exprimée en \%, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$ (courbe orange) ;
  \item le modèle 2  où l'évolution de la valeur d'une action sur une heure, exprimée en \%, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ dont la fonction de densité est donnée par $f(x)=\dfrac{\nombre{0,85}}{\pi(x^2+\nombre{0,85}^2)}$ (courbe verte).%Loi de Cauchy
\end{itemize}
\vspace{-1\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item   
  \begin{enumerate}
    \item Avec une calculatrice, déterminer $P(X\leqslant -5)$.

  Dans le modèle 1, c'est la probabilité que la valeur de l'action baisse de plus de \upc{5}.
    \item En déduire que, dans le modèle 1, un tel événement se produit en moyenne environ toutes les \uh{3483046} puis convertir dans une unité de temps plus adaptée.
  \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Avec une calculatrice ou un logiciel, déterminer  $P(Y\leqslant -5)$.
          \item Que représente cette probabilité ?
          \item En déduire, dans le modèle 2, toutes les combien d'heures un tel événement se produit en moyenne.
          \end{enumerate}
  \item Commenter.
\end{enumerate}
\end{enigme} 

