\begin{propriete}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ et deux nombres $t>0$ et $h>0$.

La probabilité conditionnelle $P_{(X>t)}\left(X>t+h\right)$ est égale à la probabilité $P(X>h)$.

On dit que la loi exponentielle est \textbf{sans vieillissement} ou \textbf{avec absence de mémoire}.

\end{propriete}


\begin{preuve}
Par définition, on a : $P_{(X>t)}(X>t+h)=\dfrac{P((X>t)\cap (X>t+h))}{P(X>t)}$

$=\dfrac{P(X>t+h)}{P(X>t)}=\dfrac{\textrm{e}^{-\lambda(t+h)}}{\textrm{e}^{-\lambda t}}=\dfrac{\textrm{e}^{-\lambda t} \times \textrm{e}^{-\lambda h}}{\textrm{e}^{-\lambda t}}=\textrm{e}^{-\lambda h}=P(X>h)$.
\end{preuve}

\begin{exemple*1}
On considère un appareil dont la durée de vie en années suit la loi exponentielle de paramètre \nombre{0,05} : d'après la propriété, $P_{(X>4)}\left(X>9\right)=P_{(X>4)}\left(X>4+5\right)=P(X>5)$.

Concrètement, si l'appareil a déjà fonctionné 4 ans, la probabilité
qu'il fonctionne encore 5 ans de plus est égale à la probabilité (non
conditionnelle) qu'il fonctionne plus de 5 ans.
\end{exemple*1}

