\begin{propriete}
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ de densité $f$ et on appelle espérance mathématique de $X$ le nombre $E(X)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \int_{0}^{x} tf(t) \, \textrm{d}t$.

On a alors $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
La fonction $f$ est définie sur $\left[0\ ;\ +\infty \right[$ par $f(t)=\lambda\textrm{e}^{-\lambda t}$.

Posons alors pour tout réel $t$ positif $g(t)=tf(t)=t\lambda\textrm{e}^{-\lambda t}$ : il s'agit alors de connaître une primitive de $g$ pour calculer l'intégrale.

La fonction $G$ définie sur $\left[0\ ;\ +\infty \right[$  par $G(t)=\left(-t-\dfrac{1}{\lambda}\right)\textrm{e}^{-\lambda t}$ est une primitive de $g$.

En effet $G'(t)=-1\times \textrm{e}^{-\lambda t} + \left(-t-\dfrac{1}{\lambda}\right)\times \left(-\lambda \textrm{e}^{-\lambda t}\right)=-\textrm{e}^{-\lambda t} + \lambda t \textrm{e}^{-\lambda t} + \textrm{e}^{-\lambda t} = \lambda t \textrm{e}^{-\lambda t}$.

On a alors ${\displaystyle\int_{0}^{x} tf(t) \, \textrm{d}t = \left[G(t)\right]_0^x=\left(-x-\dfrac{1}{\lambda}\right)\textrm{e}^{-\lambda x}-\left(-0-\dfrac{1}{\lambda}\right)\textrm{e}^{-\lambda 0}=-x\textrm{e}^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}\textrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}}$.

On a donc $E(X) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} -x\textrm{e}^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}\textrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-\lambda x\textrm{e}^{-\lambda x}}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda}\textrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$.

Comme $\lambda>0$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} -\lambda x=-\infty$  :
\begin{itemize}
\item par composition, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \textrm{e}^{-\lambda x}=0$.
\item par composition et croissance comparée, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} -\lambda x \textrm{e}^{-\lambda x}=0$.
\end{itemize}
Finalement, on obtient bien $E(X) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-\lambda x\textrm{e}^{-\lambda x}}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda}\textrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{\lambda}$.

\end{preuve}

