\begin{propriete}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathscr{E}\left(\lambda\right)$ et $a$, $c$ et $d$ trois réels positifs. On a alors :

\begin{minipage}{0.39\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item ${P\left(c\leqslant X\leqslant d\right)=\textrm{e}^{-\lambda c}-\textrm{e}^{-\lambda d}}$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.31\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item $P\left(X \leqslant a \right)=1-\textrm{e}^{-\lambda a}$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
  \begin{itemize}
  \item $P\left(X \geqslant a \right)=\textrm{e}^{-\lambda a}$
\end{itemize}
\end{minipage}


~~

\vspace{-0.5\baselineskip}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item Pour tous réels $c$ et $d$ positifs, on a $P(c\leqslant X \leqslant d)=\displaystyle \int_{c}^{d} \lambda\textrm{e}^{-\lambda t} \, \textrm{d}t=\left[-\textrm{e}^{-\lambda t}\right]_{c}^{d}$ ${=-\textrm{e}^{-\lambda d}-\left(-\textrm{e}^{-\lambda c}\right)=\textrm{e}^{-\lambda c}-\textrm{e}^{-\lambda d}}$.
\item En prenant $c=0$ et $d=a$ dans le résultat précédent, on trouve $P\left(X \leqslant a \right)=P\left(0 \leqslant X \leqslant a \right)$ ${=\textrm{e}^{-\lambda \times 0}-\textrm{e}^{-\lambda a}=1-\textrm{e}^{-\lambda a}}$.
\item On a $P\left(X \geqslant a \right)=1-P\left(X<a\right)=1-P\left(X\leqslant a\right)=1-\left(1-\textrm{e}^{-\lambda a}\right)=\textrm{e}^{-\lambda a}$.
\end{itemize}
\end{preuve}

