\begin{propriete}
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $\left[a\ ;\ b \right]$ de densité $f$ et on appelle espérance mathématique de $X$ le nombre $E(X)=\displaystyle \int_{a}^{b} tf(t) \, \textrm{d}t$.

On a alors $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
On a $E(X)=\displaystyle \int_{a}^{b} tf(t) \, \textrm{d}t=\displaystyle \int_{a}^{b} \dfrac{1}{b-a} t \, \textrm{d}t=\left[\dfrac{t^2}{2(b-a)}\right]_a^b=\dfrac{b^2-a^2}{2(b-a)}$

$=\dfrac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\dfrac{a+b}{2}$.
\end{preuve}

