\vspace{-0.75\baselineskip}\begin{propriete}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\left[a\ ;\ b \right]$ et $\left[c\ ;\ d \right]$ un intervalle inclus dans $\left[a\ ;\ b \right]$. Alors on a $P\left(X\in\left[c\ ;\ d \right]\right)=\dfrac{d-c}{b-a}$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
$X$ admet pour densité $f:t\mapsto \dfrac{1}{b-a}$ sur $\left[a\ ;\ b \right]$.

Donc on a $P\left(X\in\left[c\ ;\ d \right]\right)=\displaystyle \int_{c}^{d} f(t) \, \textrm{d}t=\left[\dfrac{1}{b-a}t\right]_{c}^{d}=\dfrac{d-c}{b-a}$.
\end{preuve}

