\begin{exercice}[D'après Bac (Nouvelle-Calédonie - 2014)\hfill\roc]

L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème ci-dessous :

\begin{cadre}[black][white]Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0\ ;\ 1[$, il existe un unique réel strictement positif $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}\right)=1-\alpha$.
\end{cadre}



Soit $f$  la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par

$$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{- \dfrac{t^2}{2}}.$$

Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0\ ;\ +\infty[$ par

$$H(x)=P(-x\leqslant X\leqslant x)=\int_{-x}^{x}f(t)\textrm{d}t.$$

\begin{enumerate}
\item Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ?
\item Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout $x\geqslant 0$, on a $H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\textrm{d}t$.
\item En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0\ ;\ +\infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0\ ;\ +\infty[$.
\item Démontrer alors le théorème énoncé.
\end{enumerate}


\end{exercice}

