\begin{exercice}[D'après Bac (Amérique du Nord - 2013)]

  Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des
  pains de campagne pesant en moyenne \ug{400}. Pour être vendus aux
  clients, ces pains doivent peser au moins \ug{385}. Un pain dont la
  masse est strictement inférieure à \ug{385} est un pain
  non-commercialisable ; un pain dont la masse est supérieure ou égale
  à \ug{385} est commercialisable.

La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu=400$ et d'écart-type $\sigma=11$.\smallskip



\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.}



\partie


\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\begin{tableau}[C]{1\linewidth}{6}{>{\centering}m{1.5cm}}\hline
$x$&380&385&390&395&400\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&\nombre{0,035}&\nombre{0,086}&\nombre{0,182}&\nombre{0,325}&\nombre{0,5}\\ \hline
\end{tableau}



\begin{tableau}[C]{1\linewidth}{5}{>{\centering}m{1.5cm}}\hline
$x$&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&\nombre{0,675}&\nombre{0,818}&\nombre{0,914}&\nombre{0,965}\\ \hline
\end{tableau}
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$.
\item Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.

Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à \upc{96} ?

On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant :

lorsque $Z$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a ${P(Z \leqslant \nombre{-1,751}) \approx \nombre{0,040}}$.
\end{enumerate}

\vspace{-0.5\baselineskip}\partie
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de $\nombre{0,913}$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.


Dans toute la suite on prendra $\lambda= \nombre{0,003}$.

\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an.

    A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
\end{enumerate}

\end{exercice}

