\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles-Guyane - 2014)]
Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur.

D'expérience, le concepteur sait que \upc{9} des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l'issue des tests, il est noté que :
\begin{itemize}
\item \upc{96} des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
\item \upc{97} des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.
\end{itemize}

\vspace{-0.25\baselineskip}\partie
\vspace{-0.25\baselineskip}On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise.

 Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

\vspace{-0.25\baselineskip}\partie
\vspace{-0.25\baselineskip}On considère que la vie d'une peluche se termine lorsqu'elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d'une \linebreak peluche, notée $D$, suit une loi $\mathscr{E}(\lambda)$.
\begin{enumerate}
\item On sait que $P(D\leqslant 4)=\nombre{0,5}$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
\item On prendra ici $\lambda=\nombre{0,1733}$.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu'elle est encore en parfait état, de la donner à sa s\oe ur qui vient de naître.

Calculer la probabilité pour que sa s\oe ur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
\end{enumerate}

\vspace{-0.25\baselineskip}\partie
\vspace{-0.25\baselineskip}Un cabinet de sondages et d'expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d'une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.
\begin{enumerate}
\item Soit $X =\dfrac{J-358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
\item On sait que $P(J\leqslant 385)=\nombre{0,975}$. Déterminer la \linebreak valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier le plus proche.
\end{enumerate}
\end{exercice}

