\begin{methode*1}[Centrer et réduire pour déterminer des paramètres d'une loi\MethodeRefExercice*{exmethode6SP2}]
Centrer et réduire une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètre(s) inconnu(s) permet de travailler avec la loi connue $\mathscr{N}(0\ ;\ 1)$.

\exercice\label{methode6SP2} On modélise par une loi normale
d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ le temps $T$ (en secondes)
mis par un sportif amateur pour parcourir un 100 mètres.

Ce sportif a remarqué qu'il mettait en moyenne $13$ secondes à
parcourir la distance, et qu'il arrivait à descendre en dessous des
$12$ secondes pour $\upc{5}$ des courses.

Déterminer les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
\correction
\begin{itemize}
	\item Le temps moyen pour parcourir 100 mètres est de $13$ secondes donc l'espérance $\mu$ vaut $13$.
	\item On sait de plus que $P(T\leqslant 12 )=\nombre{0,05}$.
	
	Posons $Z=\dfrac{T-13}{\sigma}$, la variable aléatoire $Z$ suit alors la loi normale centrée réduite.
	
	De plus, $T\leqslant 12 \Leftrightarrow \dfrac{T-13}{\sigma}\leqslant  \dfrac{-1}{\sigma}$ d'où $P(T\leqslant 12 )=P\left(Z\leqslant \dfrac{-1}{\sigma}\right)=\nombre{0,05}$.
	
	Or, à l'aide d'une calculatrice, on trouve que le réel $u$ tel que $P(Z\leqslant u)=\nombre{0,05}$ vaut approximativement $\nombre{-1,645}$ donc $\dfrac{-1}{\sigma}\approx\nombre{-1,645}$ et $\sigma\approx\cfrac{1}{\nombre{1,645}}\approx\nombre{0,608}$.
\end{itemize}

\vspace{-1\baselineskip}

~~
\end{methode*1}

