\begin{methode*1}[Déterminer le paramètre $\lambda$ d'une loi exponentielle\MethodeRefExercice*{exmethode3SP2}]
Dans les cas où une information (probabilité ou espérance) peut être exploitée, on pose l'équation issue des formules du cours et on résout cette équation pour déterminer $\lambda$.

\exercice\label{methode3SP2}

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathscr{E}(\lambda)$ avec $P(X\leqslant 5)=\nombre{0,2}$.
Déterminer $\lambda$.

\correction

D'après l'énoncé, on a $P(X\leqslant 5)=\nombre{0,2}$ donc $1-\textrm{e}^{-5 \lambda }=\nombre{0,2}$.

Résolvons donc cette équation : $1-\textrm{e}^{-5\lambda }=\nombre{0,2} \Leftrightarrow \textrm{e}^{-5\lambda }=\nombre{0,8} \Leftrightarrow \ln\left(\textrm{e}^{-5\lambda}\right)=\ln(\nombre{0,8})$

$\Leftrightarrow -5\lambda=\ln(\nombre{0,8})$ donc $\lambda = \dfrac{\ln(\nombre{0,8})}{-5}\approx \nombre{0,045}$.
\end{methode*1}

