\begin{methode*1}[Calculer avec une loi exponentielle\MethodeRefExercice*{exmethode2SP2}]
\exercice\label{methode2SP2}
On considère que le temps d'attente en minutes à un guichet du service après-vente d'un magasin peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre \nombre{0,2}.
\begin{enumerate}
\item Calculer au millième près la probabilité d'attendre un temps inférieur ou égal à 5 minutes.
\item Calculer au millième près la probabilité d'attendre plus de 10 minutes.
\item Un client se présente au guichet. Quel temps peut-il \og espérer \fg{} attendre ?
\end{enumerate}

\correction
\begin{enumerate}
\item On calcule $P(0\leqslant T \leqslant 5)=1-\textrm{e}^{-\nombre{0,2}\times 5}=1-\textrm{e}^{-1}\approx \nombre{0,632}$.
\item On calcule $P(T \geqslant 10)=\textrm{e}^{\nombre{-0,2} \times 10}=\textrm{e}^{-2}\approx \nombre{0,135}$.
\item $E(T)=\dfrac{1}{\nombre{0,2}}=5$ donc le client peut espérer attendre 5 minutes.
\end{enumerate}

~~

\vspace{-2\baselineskip}
\end{methode*1}



\begin{remarque}
Dans le cas de la première probabilité, un calcul d'intégrale était envisageable : la fonction de densité de $T$ est la fonction définie sur $\left[0\ ;\ +\infty \right[$ par $f(t)=\nombre{0,2}\textrm{e}^{-\nombre{0,2}t}$.

La probabilité d'attendre un temps inférieur ou égal à 5 minutes est donc :

 $P(0\leqslant T \leqslant 5)=\displaystyle \int_{0}^{5} \nombre{0,2}\textrm{e}^{-\nombre{0,2}t} \, \textrm{d}t=\left[-\textrm{e}^{-\nombre{0,2}t}\right]_{0}^{5}=-\textrm{e}^{-\nombre{0,2}\times5}-\left(-\textrm{e}^{-\nombre{0,2}\times0}\right)=1-\textrm{e}^{-1}\approx \nombre{0,632}$.
\end{remarque}

