\begin{exercice}[D'après Bac (Pondichéry--2015)]

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle
par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathscr{N}\left(\mu\ ;\ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

De plus, on a $P(X \leqslant 64) = \nombre{0,16}$.

La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=0.05,yscale=150]
\draw[pattern,fill opacity=1, smooth,samples=50,domain=0:64, color=H1] plot(\x,{1/(20*sqrt(2*pi))*exp((-((\x-84)/20)*((\x-84)/20))/2)}) -- (64,0) -- (0,0) -- cycle;



\axeX{0}{160}{% 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150
};

\draw (55,0.0035) node {{\small \upc{16}}};

\draw (64,-0.003) node {{\small 64}};
\draw (84,-0.003) node {{\small 84}};

\draw (64,0)--(64,0.0121);
\draw (84,0)--(84,0.02);

\draw[smooth,samples=100,domain=0:160,color=B2] plot(\x,{1/(20*sqrt(2*pi))*exp((-((\x-84)/20)*((\x-84)/20))/2)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-2\baselineskip}\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après le graphique, quelle valeur peut-on choisir pour $\mu$ ?
		\item Toujours en exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
		\item Sans calculatrice, déterminer quelle valeur approchée entière de $\sigma$ on peut proposer.
	\end{enumerate}
\item On note $Z$ la variable aléatoire définie par ${Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
		\item Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
		\item En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice} 

