\begin{exercice}[Conformité d'un produit]
Un fabricant de yaourts brassés utilise une machine pour remplir ses
pots, dont la masse affichée est de \ug{125}.
La masse de yaourt $X$ introduite dans chaque pot suit la loi $\mathscr{N}(125\ ;\ 2^2)$ et un pot est déclaré conforme s'il contient au moins \ug{122} de yaourt brassé.
\begin{enumerate}
	\item Quelle est la probabilité qu'un yaourt soit conforme ?
	\item Le gérant souhaite modifier les réglages de la machine pour diminuer le nombre de pots non conformes. Il souhaite obtenir $\upc{97}$ de yaourts conformes, sans changer la quantité moyenne de yaourt introduite dans les pots.
	
	On suppose que la masse $X$ de yaourt suit toujours une loi normale d'espérance $\mu=125$. On note $\sigma'$ la nouvelle valeur de l'écart-type.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $Z=\cfrac{X-125}{\sigma'}$. Quelle loi suit $Z$ ?
		\item Expliquer pourquoi $122\leqslant X\Leftrightarrow -\cfrac{3}{\sigma'}\leqslant Z$.
		\item En déduire la valeur de $\sigma'$.
	\end{enumerate}
	
	\item Un ingénieur lui a indiqué qu'il ne pourrait pas modifier l'écart-type, mais uniquement la moyenne. En prenant $\sigma =2$, quelle quantité $\mu'$ de yaourt doit-être introduite pour obtenir $\upc{97}$ de yaourts conformes ?
	
\end{enumerate}
\end{exercice}

