\begin{exercice*}\ExerciceRefMethode{methode5SP2}\label{exmethode5SP2}

Dans l'exercice, on arrondira les résultats au millième.
\begin{enumerate}
  \item On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathscr{N}(2\ ;\ 3^2)$. Déterminer les probabilités suivantes :
\begin{colenumerate}{2}
	\item $P(0\leqslant X\leqslant 3)$
	\item $P(X<2)$
	\item $P(4\geqslant X)$
	\item $P(X<1)$
	\item $P(X\geqslant 3)$
	\item $P(X>-2)$
    \item $P_{(1<X<3)}(X\geqslant 2)$
	\item $P_{(X\geqslant 2)}(X>3)$
\end{colenumerate}

\begin{cadre}[A1][A4]Pour calculer $P(X\leqslant a)$ ou $P(a\leqslant X)$, on peut calculer respectivement $P\left(-10^{99}\leqslant X\leqslant a \right)$ ou $P\left(a\leqslant X\leqslant 10^{99}\right)$ avec une calculatrice.
\end{cadre}
  \item On considère une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale de paramètres $\mu=10$ et $\sigma=4$.

Dans chacun des cas suivants, déterminer la valeur du réel $t$ telle que :
\begin{colenumerate}{2}
	\item $P(Y<t)=\nombre{0,2}$
	\item $P(Y\geqslant t)=\nombre{0,7}$
	\item ${P(-t<Y-10<t)=\nombre{0,9}}$
	\item $P(t\leqslant Y\leqslant 10)=\nombre{0,35}$
	\item $P(t\leqslant Y<9)=\nombre{0,1}$
 \end{colenumerate}
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item \nombre{0,378}
          \item \nombre{0,5}
          \item \nombre{0,748}
          \item \nombre{0,369}
          \item \nombre{0,369}
          \item \nombre{0,909}
          \item $\dfrac{P(2\leqslant X<3)}{P(1<X<3)}=\nombre{0,5}$
          \item $\dfrac{P(X>3)}{P(X\geqslant 2)}\approx\nombre{0,739}$
        \end{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
  \item \begin{enumerate}
          \item $t\approx \nombre{6,634}$
          \item
            $P(Y\geqslant t)=\nombre{0,7}\Leftrightarrow P(Y\leqslant
            t)=\nombre{0,3}$ donc $t\approx \nombre{7,902}$
          \item $P(-t<Y-10<t)=\nombre{0,9}$

            $\Leftrightarrow P(10-t<Y<10+t)=\nombre{0,9}$

            $\Leftrightarrow
            P(Y<10+t)=\nombre{0,5}+\dfrac{\nombre{0,9}}{2}=\nombre{0,95}$

            donc $10 + t\approx \nombre{16,579}$ puis
            $t\approx \nombre{6,579}$.
          \item
            $P(t\leqslant Y\leqslant 10)=\nombre{0,35}\Leftrightarrow
            P(t\leqslant Y)=\nombre{0,85}$

            $\Leftrightarrow P(Y\leqslant t)=\nombre{0,15}$ donc
            $t\approx\nombre{5,854}$
          \item $P(t\leqslant Y<9)=\nombre{0,1}$

            $\Leftrightarrow P(Y\geqslant t)=\nombre{0,1}+P(Y\geqslant
            9)$

            ${\Leftrightarrow P(Y\leqslant
              t)=1-(\nombre{0,1}+P(Y\geqslant 9))}$
            $=\nombre{0,9}-P(Y\geqslant 9)\approx \nombre{0,301}$ puis
            $t\approx \nombre{7,917}$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

