\begin{exercice*}\ExerciceRefMethode{methode3SP2}
\label{exmethode3SP2}

Une variable aléatoire $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item Sachant que ${P(Y>30)=\nombre{0,2}}$, déterminer $\lambda$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item On considère maintenant $\lambda=\nombre{0,05}$. Calculer :
\begin{colenumerate}{2}
\item $P(Y\geqslant15)$
\item $P(Y\geqslant 5)$
\item $P_{(Y\geqslant15)}(Y\geqslant 20)$
\item $E(Y)$
\end{colenumerate}
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item ${P(Y>30)=\nombre{0,2}}\Leftrightarrow \textrm{e}^{-\lambda\times 30}=\nombre{0,2}$

      $\Leftrightarrow \lambda=\dfrac{\textrm{ln}(\nombre{0,2})}{-30}\approx \nombre{0,054}$
  \item \begin{enumerate}
          \item $\textrm{e}^{-\nombre{0,05}\times 15}=\textrm{e}^{-\nombre{0,75}}\approx \nombre{0,472}$
          \item $\textrm{e}^{-\nombre{0,05}\times 5}=\textrm{e}^{-\nombre{0,25}}\approx \nombre{0,779}$
          \item $\dfrac{P(Y\geqslant 20)}{P(Y\geqslant 15)}=\dfrac{\textrm{e}^{-\nombre{0,05}\times 20}}{\textrm{e}^{-\nombre{0,05}\times 15}}=\dfrac{\textrm{e}^{-1}}{\textrm{e}^{-\nombre{0,75}}}=\textrm{e}^{-\nombre{0,25}}$

              $\approx \nombre{0,779}$
          \item $E(Y)=\dfrac{1}{\nombre{0,05}}=20$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

