\begin{activite}[Vers la loi normale centrée réduite][\tice]

Le but de cette activité est d'étudier l'évolution des lois binomiales
$\mathscr{B}(n\ ;\ p)$   lorsque $n$ tend vers $+\infty$, après
centrage et réduction.

On considère une variable aléatoire $X_n$ suivant une loi $\mathscr{B}(n\ ;\ p)$ où $n\in\N^*$ et $p\in]0\ ;\ 1[$.
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer l'espérance et l'écart-type  de $X_n$ en fonction de $n$ et $p$.
	\item Expliquer pourquoi on peut écrire que la variable aléatoire $Z$ définie par $Z=\cfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ est centrée réduite.
\end{enumerate}
\item On va utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour
  représenter la loi de probabilité de $Z$. Plus précisément, on
  cherche à représenter cette loi à l'aide d'un histogramme dont les
  rectangles sont centrés sur les valeurs $z_i$ prises par $Z$ et dont
  les aires donnent la probabilité de $Z=z_i$ correspondante.
\begin{enumerate}
	\item Créer deux curseurs pour $n$ allant de $1$ à \nombre{3000} et $p$ allant de $0$ à $1$.
	\item Calculer avec la barre de saisie :
 \begin{colitemize}{2}
   \item l'espérance \texttt{m=n*p}
   \item l'écart-type \texttt{s=sqrt(n*p*(1-p))}
 \end{colitemize}
	\item Entrer dans la barre de saisie :
\begin{center}
\verb"Séquence[(i-m)/s-1/(2*s),i,0,n+1]"
\end{center}	
\textit{Cela crée la liste des bornes sur l'axe des abscisses.
}	\item Entrer dans la barre de saisie :
\begin{center}
\verb"Séquence[s*binomiale(n,p,i,False),i,0,n]"
\end{center}	
	\textit{Cela crée la liste des hauteurs des histogrammes. Chaque intervalle ayant une longueur de $\cfrac{1}{s}$, il faut introduire un facteur $s$ dans la formule pour que l'aire corresponde bien à la probabilité.}	
	\item Entrer dans la barre de saisie :
\begin{center}
 \verb"histogramme[liste1,liste2]"
\end{center}	
\textit{On obtient un histogramme : les aires des rectangles correspondent aux probabilités.}	
\end{enumerate}
	\item Pour différentes valeurs de $p$, faire varier $n$ de 1 à $\nombre{3000}$. Qu'observe-t-on ?
	\item Tracer la courbe de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\textrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ en entrant dans la barre de saisie :	
\begin{center}
\verb"f(x)=1/(sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2)"
\end{center}
	\item Entrer dans la barre de saisie :
 \begin{center}
 \verb"Intégrale[f,-inf,+inf]"
 \end{center}

Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ?
\end{enumerate}
\end{activite}

