\begin{activite}[Vers la loi exponentielle]

Plusieurs fois dans la semaine, lorsqu'il revient du lycée, Karim doit sortir le linge de la  \linebreak machine à laver familiale et l'étendre.\smallskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
Pour une étude statistique, on a relevé 100 fois le temps écoulé (en heure) entre le moment où il rentre chez lui et celui où il s'acquitte de cette tâche.

Les résultats sont donnés par l'histogramme ci-contre où la fréquence d'une classe est donnée par l'aire (exprimée en unité d'aire) du rectangle correspondant à cette classe.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
  \vspace{-\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=3,yscale=3]
\draw[quadrillageNIV2, xstep=0.2, ystep=0.2] (0,0) grid (2.6,1.4);
\axeX{0}{2.6}{0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.4};
\axeY{0}{1.5}{0.4,0.8,1.2};
\draw[fill=A2] (0,0)rectangle(0.4,1.37);
\draw[fill=A2] (0.4,0)rectangle(0.8,0.63);
\draw[fill=A2] (0.8,0)rectangle(1.2,0.28);
\draw[fill=A2] (1.2,0)rectangle(1.6,0.13);
\draw[fill=A2] (1.6,0)rectangle(2.4,0.045);
\draw(0,1.37) node[left] {\nombre{1,37}};
\draw(0,0.63) node[left] {\nombre{0,63}};
\draw(0,0.28) node[left] {\nombre{0,28}};
\draw(0,0.13) node[left] {\nombre{0,13}};
\draw(0,0.045) node[left] {\nombre{0,045}};
\draw[dotted] (0.4,0.63)--(0,0.63);
\draw[dotted] (0.8,0.28)--(0,0.28);
\draw[dotted] (1.2,0.13)--(0,0.13);
\draw[dotted] (1.6,0.045)--(0,0.045);
\pointGraphique{0.2}{1.37}{A_1}{above}
\pointGraphique{0.6}{0.63}{A_2}{above}
\pointGraphique{1}{0.28}{A_3}{above}
\pointGraphique{1.4}{0.13}{A_4}{above}
\pointGraphique{2}{0.045}{A_5}{above}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace{-0.5\baselineskip}

\partie[Avec l'histogramme]\label{expo4}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Avec quelle fréquence Karim a-t-il mis entre 0 et 24 minutes avant de sortir le linge ? % Et entre 48 minutes et 1h 36 minutes ?
  \item Aujourd'hui Karim va devoir rentrer du lycée et étendre le linge : on considère la variable aléatoire $X$ donnant le temps qui s'écoulera (en heure) entre le moment où il rentrera chez lui et celui où il s'acquittera de sa tâche.
      \begin{enumerate}
        \item Préciser toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$.
        \item En utilisant l'histogramme de manière prédictive, proposer une valeur de ${P(\nombre{0,5}\leqslant X\leqslant 1)}$.\label{expo2}\smallskip
            \end{enumerate}
            \end{enumerate}
        \vspace{-\baselineskip}L'objet de la partie \RefPartie{expo3} est de déterminer une fonction de densité continue possible pour $X$.
        \partie[Vers une fonction de densité]\label{expo3}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Dans un repère orthonormé, placer $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ et $A_5$, milieux des côtés des rectangles du graphique précédent. Ces points semblent-ils pouvoir être \og approchés \fg{} par une droite ?\label{expo1}
  \item Recopier puis compléter le tableau suivant (arrondir $y'_i$ à \nombre{0,01} près) :

    \vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
  \begin{tableau}[CL]{0.8\linewidth}{6}{>{\centering}m{2.5cm}}\hline
  Point $A_i$ & $A_1$ & $A_2$ & $A_3$ & $A_4$ & $A_5$ \\\hline
  Abscisse $x_i$ &  &  &  &  &  \\\hline
  Ordonnée $y_i$ &  &  &  &  &  \\\hline
  $y'_i=\ln(y_i)$ &  &  &  &  &  \\\hline
  \end{tableau}
  \end{center}
  \vspace{-0.5\baselineskip}\item \begin{enumerate}
          \item Dans un nouveau repère orthonormé (différent de celui de la question \RefItem{expo1}) placer les points de coordonnées $(x_i\ ;\ y'_i)$ pour $i$ entier entre 1 et 5.
          \item Ces points semblent-ils pouvoir être \og approchés
            \fg{} par une droite ? Si oui, la tracer à main levée et
            lire graphiquement son équation réduite.
          \item Un logiciel propose pour équation $y'=-2x+\ln(2)$.

          Cela est-il cohérent avec la réponse donnée à la question précédente ?
          \item En utilisant cette droite d'équation $y'=-2x+\ln(2)$, déduire une fonction $f$ dont la courbe \og approche \fg{} les points $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ et $A_5$ de manière satisfaisante.
          \item Tracer la courbe de $f$ dans le repère de la question \RefItem{expo1}.
        \end{enumerate}
  \item On admet que $f$ est bien la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ sur $[0\ ;\ +\infty[$.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer ${P(\nombre{0,5}\leqslant X\leqslant 1)}$ puis comparer avec le résultat obtenu à la question \RefItem{expo2} de la partie \RefPartie{expo4}\hspace{-0.1cm}.
    \item Déterminer la probabilité que Karim attende moins de 3h pour vider la machine à laver.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{-4\baselineskip}

~~

\end{activite}

