\begin{activite}[La probabilité d'être toujours gagnant]
\partie[Des aires et des probabilités]


Dans la salle des professeurs de mathématiques, il y a une cible de
fléchettes dont la forme est parabolique :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=2.2,yscale=2.2]
\fill[color=A1](-0.2,0) -- (-0.2,0.72)-- plot [domain=-0.2:-1] (\x,{0.75-0.75*\x*\x})-- (-1,0) -- cycle;
\fill[color=H1](0.2,0) -- (0.2,0.72)-- plot [domain=0.2:1] (\x,{0.75-0.75*\x*\x})-- (1,0) -- cycle;
\draw[epais] (-1,0)--(1,0);
\draw[domain=-1:1,epais] plot(\x,{0.75-0.75*\x*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Plus précisément, la fonction $f$ ayant permis de tracer cette cible est définie sur $[-1\ ;\ 1]$ par $f(x)=\nombre{0,75}\left(1-x^2\right)$, de sorte que l'on ait :


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=2.2,yscale=2.2]
\fill[color=A1](-0.2,0) -- (-0.2,0.72)-- plot [domain=-0.2:-1] (\x,{0.75-0.75*\x*\x})-- (-1,0) -- cycle;
\fill[color=H1](0.2,0) -- (0.2,0.72)-- plot [domain=0.2:1] (\x,{0.75-0.75*\x*\x})-- (1,0) -- cycle;
\axeX{-1}{1}{-1,-0.2,0.2,1};
\axeY{-0.2}{1.2}{1};
\draw[domain=-1:1,epais] plot(\x,{0.75-0.75*\x*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans toute la suite, on travaillera sur le second graphique, dans le repère orthonormé.

\medskip

Quand les professeurs de mathématiques jouent aux fléchettes, la règle est la suivante :
\begin{itemize}
  \item quand on atteint la partie bleue, on gagne un café ;
  \item quand on atteint la partie verte, on gagne une barre chocolatée ;
  \item quand on atteint la partie non colorée, un collègue corrige un paquet de copies à votre place.
\end{itemize}
On admet, par ailleurs, que lors d'un lancer :
\begin{itemize}
  \item l'on ne rate jamais la cible ;
  \item tous les points de la cible sont équiprobables.
\end{itemize}
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Calculer $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\textrm{d}x$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Déterminer la probabilité d'obtenir un café.
          \item En déduire la probabilité d'obtenir une barre chocolatée.
        \end{enumerate}
  \item Déterminer la probabilité de ne pas corriger son paquet de copies.
\end{enumerate}
\vspace{-\baselineskip}\partie[Avec une variable aléatoire]
Un professeur de mathématiques lance une fléchette dans la cible et on considère $X$ la \textbf{variable aléatoire} donnant l'abscisse du point d'arrivée de la fléchette.
\begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble des valeurs que prend $X$ ?
  \item  Tracer la courbe de $f$ (sans les zones colorées), hachurer l'ensemble des points de la cible pour lesquels ${\nombre{-0,6}\leqslant X\leqslant \nombre{0,7}}$ puis calculer $P(\nombre{-0,6}\leqslant X\leqslant \nombre{0,7})$.\label{densite1}
  \item Pour $a<b$ et $a$, $b\in[-1\ ;\ 1]$, donner $P(a\leqslant X\leqslant b)$ sous la forme d'une intégrale.\label{densite2}
  \item ~~


\vspace{-0.65\baselineskip}\begin{minipage}{0.6\linewidth}
  La cible est maintenant délimitée sur $[-1\ ;\ 1]$ par la courbe de la fonction $g$ définie par ${g(x)=1-x^4}$\linebreak ci-contre.
        \begin{enumerate}
          \item Déterminer l'aire entre l'axe des abscisses et la courbe de $g$ sur $[-1\ ;\ 1]$.
          \item Reprendre les questions \RefItem{densite1} et \RefItem{densite2} avec la nouvelle cible.
        \end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=1.8,yscale=1.8]
%\fill[color=A2] plot [domain=-1:1] (\x,{1-\x*\x});
\draw[domain=-1:1,tres epais,color=A2] plot(\x,{1-\x*\x*\x*\x});
\axeX{-1}{1}{-1,1};
\axeY{-0.2}{1.2}{1};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{-2\baselineskip}

~~
\end{activite}

