\begin{TP}[Méthode de Monte-Carlo] [\algo]

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\vspace{-1.2\baselineskip}\begin{minipage}{0.7\linewidth}

Le but de ce TP est de déterminer un encadrement de $\pi$ à travers un procédé probabiliste. Cette méthode peut permettre également de donner une estimation de la valeur d'une intégrale comme cela est présenté dans le TP1 du chapitre A6. \smallskip

Dans un repère orthonormé $(A\ ;\ B,D)$, on considère le quart de disque de centre $A$ et de rayon $1$ et le carré $ABCD$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,xscale=2,yscale=2]

\draw[quadrillageNIV2, xstep=0.5, ystep=0.5](-0.25,-0.25) grid(1.25,1.25);

\axeX{-0.25}{1.25}{};
\axeY{-0.25}{1.25}{};

\draw [shift={(0,0)}, color=J1] plot[domain=0:1.57,variable=\t]({1*1*cos(\t r)+0*1*sin(\t r)},{0*1*cos(\t r)+1*1*sin(\t r)});
\draw (0,0)-- (1,0);
\draw (1,0)-- (1,1);
\draw (1,1)-- (0,1);
\draw (0,1)-- (0,0);
\begin{scriptsize}
\fill  (0,0) circle (0.5pt);
\draw (-0.15,-0.15) node {$A$};
\fill  (1,0) circle (0.5pt);
\draw (1,-0.15) node {$B$};
\fill  (1,1) circle (0.5pt);
\draw (1.15,1.15) node {$C$};
\fill (0,1) circle (0.5pt);
\draw (-0.15,1) node {$D$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{minipage}\medskip
\begin{enumerate}
\item Que vaut l'aire du quart de disque ?
\item \'Echantillonner au hasard un point du carré revient à prendre au hasard les deux coordonnées de ce point de manière indépendante.

On note $X$ la variable aléatoire donnant l'abscisse du point et $Y$ celle donnant son ordonnée.
\begin{enumerate}
\item Quelles lois suivent les variables aléatoires $X$ et $Y$ ?
\item \`A quelle condition sur $X$ et $Y$ un point appartient-il au quart de disque ?
\item \'Ecrire un algorithme qui simule le choix d'un point du carré $ABCD$ au hasard et qui indique si ce point est situé dans le quart de disque ou non.
\end{enumerate}
\item Lors du tirage au hasard d'un point dans le carré $ABCD$, on admet que la probabilité que le point soit dans le quart de disque est égale à
$\dfrac{\textrm{Aire du quart de disque}}{\textrm{Aire du carré}}$.

 \begin{enumerate}
   \item Déterminer cette probabilité qu'un point au hasard soit dans le quart de disque.
   \item On a utilisé un algorithme permettant de simuler l'obtention au hasard d'un grand nombre de points dans le carré $ABCD$ et calculant le nombre de points à l'intérieur du quart de disque : \smallskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
  la fréquence observée des points à l'intérieur du quart de disque donne une estimation de la probabilité qu'un point soit dans le quart de disque, c'est-à-dire une estimation de $\dfrac{\pi}{4}$.

  En lançant cet algorithme avec AlgoBox, on obtient les écrans suivants (les points en vert sont à l'intérieur du quart de disque et les points en rouge à l'extérieur) :

   \includegraphics[width=0.8\linewidth]{monte_carlo2.eps}

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\vspace{-2.5\baselineskip}\begin{center}
  \includegraphics[width=0.95\linewidth]{monte_carlo1.eps}
\end{center}
\end{minipage}\smallskip

En déduire une estimation de la valeur de $\pi$.
 \end{enumerate}
\begin{cadre}[A1][A4]Cette méthode probabiliste utilisée pour déterminer l'estimation d'une aire est appelée méthode de Monte-Carlo.
\end{cadre}
\item Lorsque l'on veut estimer une proportion ou une probabilité $p$,
  on peut en donner un intervalle de confiance au niveau \upc{95}.

       En appelant $f$ la fréquence observée et $n$ la taille de l'échantillon, pour $\nombre{0,2}\leqslant f\leqslant \nombre{0,8}$ et $n\geqslant 25$, cet intervalle de confiance est donné par  $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
\begin{enumerate}
\item Après avoir vérifié que les conditions sont remplies sur l'exemple précédent, donner un intervalle de confiance au niveau \upc{95} pour la valeur de $p$.
\item \`A partir de quelle valeur de $n$, peut-on être sûr, au niveau de confiance \upc{95}, de donner un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à \nombre{0,01} de $\dfrac{\pi}{4}$ ? Et de $\pi$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{-2\baselineskip}

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\end{TP}

