\begin{propriete}[\hfill\roc]Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants alors $\overline{A}$ et $B$ sont également indépendants.
\end{propriete}

\begin{preuve}Pour $A$ et $B$  indépendants, il s'agit de montrer que $P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P\left(B\right)$.\medskip

Notons préalablement que $P(B)=P\left(\overline{A}\cap B\right)+P(A\cap B)$ d'après la formule des probabilités totales donc $P\left(\overline{A}\cap B\right)=P(B)-P(A\cap B)$.\smallskip

Comme $A$ et $B$ sont  indépendants, on a $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ donc, d'après ce qui précède, $P\left(\overline{A}\cap B\right)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)\times P(B)=(1-P(A))\times P(B)=P\left(\overline{A}\right)\times P(B)$ : $\overline{A}$ et $B$ sont bien indépendants.
\end{preuve}

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{exemple*1}Dans l'exemple précédent, les événements  $A$ : \og la personne  a 55 ans ou plus \fg{} et\linebreak $\overline{L}$ : \og la personne ne porte pas de lunettes \fg{} sont donc également indépendants.
\end{exemple*1}


\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{remarques}
\begin{itemize}
 \item Plus généralement, si $A$ et $B$ sont indépendants alors  $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants et $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
 \item Quand on considère un schéma de Bernoulli, on a des tirages indépendants.

 Cela veut dire que le fait qu'un tirage soit réussi ou non n'a pas d'influence sur le fait que le suivant soit réussi ou non : c'est pour cela que les probabilités (conditionnelles) de réussite ou d'échec sur toutes les branches sont les mêmes.
 %\item D'une manière générale, les tirages avec remise sont indépendants.
 \end{itemize}
\end{remarques}

