\begin{propriete}Si $P(A)\neq 0$ (ou $P(B)\neq 0$) alors $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, $P_A(B)=P(B)$ (ou $P_B(A)=P(A)$).
\end{propriete}

\begin{preuve}Pour $A$ tel que $P(A)\neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si :

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\Leftrightarrow P(A)\times P_A(B)=P(A)\times P(B)\Leftrightarrow P_A(B)=P(B)$ car $P(A)\neq 0$.
\end{preuve}

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{remarques}
 \begin{itemize}
   \item $P_A(B)=P(B)$ traduit le fait que savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$, autrement dit, que la réalisation de $A$ n'a pas d'influence sur la réalisation de $B$.
   \item Dans l'exemple précédent, on aurait pu conclure directement puisque $P(A)=P_L(A)$.
 \end{itemize}
\end{remarques}

