\begin{exercice}[Coût d'un contrôle anti-dopage]

Dans un certain sport, on considère que \upc{2} des sportifs se dopent.

Un test anti-dopage répond aux spécificités suivantes :
\begin{itemize}
  \item si un sportif se dope, le test est positif dans \upc{99} des cas ;
  \item si un sportif ne se dope pas, le test est négatif dans \upc{99,9} des cas.
\end{itemize}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Déterminer la probabilité qu'un sportif pris au hasard soit contrôlé positif avec ce test.
  \item Si un sportif est contrôlé positif à ce test, on fait un deuxième test : si celui-ci est également positif, le sportif est déclaré coupable, sinon, il est innocenté.

  On choisit un sportif subissant un contrôle anti-dopage et on considère  les évènements :
\begin{itemize}
  \item $D$ : \og le sportif est dopé \fg ;
  \item $P_1$ : \og le premier test est positif \fg ;
  \item $P_2$ : \og le deuxième test est positif \fg.
\end{itemize}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item  Montrer que la probabilité que le sportif soit déclaré coupable est \nombre{0,01960298} en admettant que $P_{D\cap P_1}(P_2)=P_{D}(P_2)$ et $P_{\overline{D}\cap P_1}(P_2)=P_{\overline{D}}(P_2)$.
  \item Un officiel affirme : \og avec ce protocole, il est presque impossible qu'un sportif soit déclaré coupable à tort \fg{}.
      Commenter cette affirmation.
\end{enumerate}
  \vspace{-\baselineskip}\item On tire au sort 50 sportifs pratiquant ce sport, ce\linebreak tirage au sort étant assimilable à un tirage au sort avec remise.
      \begin{enumerate}
        \item En moyenne, combien de ces sportifs seront déclarés coupables ?
        \item Quelle est la probabilité qu'il y ait entre 2 et 10\linebreak déclarés coupables ?
      \end{enumerate}
  \item Un test antidopage coûte \ueuro{500} à réaliser.

  On considère la variable aléatoire $X$ donnant le coût d'un contrôle antidopage (c'est-à-dire un ou deux tests).
  \begin{enumerate}
    \item Donner la loi de probabilité de $X$.
    \item La fédération de ce sport prévoit de réaliser \nombre{10000} contrôles l'année prochaine.

        Quelle somme \og moyenne \fg{} devrait-elle prévoir pour tous ces contrôles dans son budget ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

