\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles-Guyane - 2013)\hfill\algo]

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large.

Sa démarche est très particulière :
\begin{itemize}
\item soit il avance d'un pas tout droit ;
\item soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;
\item soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).
\end{itemize}


On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.


L'objectif de cet exercice est d'estimer la probabilité $p$ de l'évènement $S$ \og Tom traverse le pont\fg{} c'est-à-dire \og Tom n'est pas tombé dans l'eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements \fg.



\partie[Modélisation et simulation]



On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ I\, ,\, J)$ comme l'indique la figure ci-dessous.

On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées $(0\ ;\ 0)$ au
début de la traversée. 

On note $(x\ ;\ y)$ les coordonnées de la position de Tom après $x$ déplacements.

\vspace{-1.5\baselineskip}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.7]
\draw[fill=Gris1] (0,-1) rectangle (10,1);
\axeY{-1}{1}{}  ;
\axeX{0}{10}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ;


\draw[epais,->] (0,0)--(1,1) ;
\draw[epais,->] (0,0)--(1,0) ;
\draw[epais,->] (0,0)--(1,-1) ;

\draw(0,0.25) node[left]{{\small Départ}};
\draw(0,-0.25) node[left]{$O$};
\draw(0,1) node[left]{$J$};
\draw(1,0) node[above]{$I$};

\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-1\baselineskip}On a écrit l'algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de $x$ déplacements :

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
$x, y, n$ sont des entiers
Affecter à $x$ la valeur 0
Affecter à $y$ la valeur 0
Tant que $y \geqslant - 1$ et $y \leqslant 1$ et $x \leqslant 9$
    Affecter à $n$ une valeur choisie au\\ hasard entre $- 1$, $0$ et $1$
    Affecter à $y$ la valeur $y + n$
    Affecter à $x$ la valeur $x + 1$
Fin tant que
Afficher "la position de Tom est" $(x~;~y)$
\end{oldalgorithme}
\end{center}



~~
\columnbreak

\begin{enumerate}
\item On donne les couples suivants : $(-1\ ;\ 1)$ ; $(10\ ;\ 0)$; $(2\ ;\ 4)$ ; $(10\ ;\ 2)$.

Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.
\item Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x\ ;\ y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.
\end{enumerate}

\vspace{-\baselineskip}\partie
Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note :
\begin{itemize}
  \item $A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg.
  \item $B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg.
  \item $C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg.
\end{itemize}

On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.


\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
\item Justifier que $a_0=0$, $b_0=1$, $c_0=0$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ compris entre $0$ et $9$, on a :

\vspace{-\baselineskip}$$\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n}}{3}\\
b_{n+1} &=& \dfrac{a_{n} + b_{n} + c_{n}}{3}
\end{array}\right..$$

On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
\item Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right)$, $p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$.
\item Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.

\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu ci-dessous la feuille de calcul qui donne des valeurs approchées de $a_{n},\: b_{n},\: c_{n}$ pour $n$ compris entre 0 et 10.

Donner une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s'aider du tableau ci-dessous).

\vspace{-0\baselineskip}{\renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\begin{tableau}[CL]{\linewidth}{4}{>{\centering}m{1cm}}\hline
$n$ &$a_{n}$ &$b_{n}$ &$c_{n}$ \\ \hline
0	&0				&1				&0\\ \hline
1	&\nombre{0,333333} 	&\nombre{0,333333} 	&\nombre{0,333333}\\ \hline
2 	&\nombre{0,222222} 	&\nombre{0,333333} 	&\nombre{0,222222}\\ \hline
3 	&\nombre{0,185185} 	&\nombre{0,259259} 	&\nombre{0,185185}\\ \hline
4 	&\nombre{0,148148} 	&\nombre{0,209877} 	&\nombre{0,148148}\\ \hline
5 	&\nombre{0,119342} 	&\nombre{0,168724} 	&\nombre{0,119342}\\ \hline
6 	&\nombre{0,096022} 	&\nombre{0,135802} 	&\nombre{0,096022}\\ \hline
7 	&\nombre{0,077275} 	&\nombre{0,109282} 	&\nombre{0,077275}\\ \hline
8 	&\nombre{0,062186} 	&\nombre{0,087944} 	&\nombre{0,062186}\\ \hline
9 	&\nombre{0,050043} 	&\nombre{0,070772} 	&\nombre{0,050043}\\ \hline
10 	&\nombre{0,040272} 	&\nombre{0,056953} 	&\nombre{0,040272}\\ \hline
\end{tableau}}
\end{enumerate}
\end{exercice}

