\section{Indépendance de deux évènements}

\begin{definition}On dit que $A$ et $B$ sont \MotDefinition{indépendants}{} si, et seulement si, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
\end{definition}

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{remarque}Attention à ne pas confondre indépendant et incompatible (qui est synonyme de disjoint c'est-à-dire que $A\cap B=\emptyset$ et non pas $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$).
\end{remarque}

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{exemple*1}
Dans la population, il y a \upc{71} de porteurs de lunettes parmi lesquels \upc{37} ont 55~ans ou plus.
Dans la population, il y a \upc{63} de personnes de moins de 55 ans.

On tire au sort une personne dans la population et on considère les deux évènements :
\begin{colitemize}{2}
  \item $A$ : \og la personne  a 55 ans ou plus \fg ;
  \item $L$ : \og la personne  porte des lunettes \fg.
\end{colitemize}
Les  évènements $A$ et $L$ sont-ils indépendants ?
\correction
D'après l'énoncé, $P(L)=\nombre{0,71}$ ; $P(A)=1-\nombre{0,63}=\nombre{0,37}$ et $P_L(A)=\nombre{0,37}$ donc  ${P(A)\times P(L)=\nombre{0,37}\times \nombre{0,71}=\nombre{0,2627}}$ et ${P(A\cap L)=P(L)\times P_L(A)=\nombre{0,71}\times \nombre{0,37}=\nombre{0,2627}}$.
Comme $P(A)\times P(L)=P(A\cap L)$, on en déduit que $A$ et $L$ sont indépendants.
\end{exemple*1}

