 \begin{exercice}Chaque jour Bill doit décider s'il achète du pain ou non.
  \begin{itemize}
    \item S'il a acheté du pain un jour, la probabilité qu'il en achète le lendemain est \nombre{0,3} (parce qu'il lui en reste parfois du jour précédent ou qu'il n'en a simplement pas envie ce jour-là).
    \item S'il n'a pas acheté de pain un jour, la probabilité qu'il en achète le lendemain est \nombre{0,8}.
  \end{itemize}

  Pour tout entier $n\in\N^*$, on appelle $A_n$ l'évènement \og Bill achète du pain le $n$\ieme{} jour \fg{} et on note $p_n=P(A_n)$.\smallskip

   Aujourd'hui (le 1\ier{} jour), Bill a acheté du pain, ainsi $p_1=1$.
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $p_2$ et $p_3$.
    \item Représenter la situation par un arbre sur lequel figurent les évènements $A_n$, $\overline{A_n}$, $A_{n+1}$ et $\overline{A_{n+1}}$.
    \item Montrer que $p_{n+1}=\nombre{0,8}-\nombre{0,5}p_n$.
    \item Montrer que $p_n=\dfrac{7}{15}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{8}{15}$ pour tout $n\in\N^*$.
    \item \begin{enumerate}
            \item En déduire $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} p_n$.
            \item Interpréter concrètement le résultat de la question
              précédente.
          \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  \end{exercice}

