\begin{exercice}[D'après Bac (Pondichéry - 2013)][\algo] Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
\begin{itemize}
\item Un salarié malade est absent.
\item La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
\item Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n+1$ avec une probabilité égale à $\nombre{0,04}$.
\item Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n+1$ avec une probabilité égale à $\nombre{0,24}$.
\end{itemize}
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_n$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$\ieme{} semaine \fg{}. On note $p_n$ la probabilité de l'évènement $E_n$.

On a ainsi : $p_1=0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0\leqslant p_n<1$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_3$ à l'aide d'un arbre de probabilité.
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de\linebreak probabilité donné ci-dessous
		
   \vspace{-0.75\baselineskip}\begin{center}\pstree[treemode=R,labelsep=1mm,treesep=6.5mm]{\TR{}}
            {
              \pstree[labelsep=1mm]{\TR{$E_n$}\taput{$p_n$}}
              {
                \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
                \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
              }
              \pstree[labelsep=1mm]{\TR{$\overline{E_n}$}\tbput{\ldots}}
              {
                 \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
                \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
              }

            }	
      \end{center}
		 \vspace{-0.5\baselineskip}\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,		
		 $p_{n+ 1}=\nombre{0,2}p_n+\nombre{0,04}$.
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_n=p_n-\nombre{0,05}$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$ et $r$.
		\item En déduire la limite de la suite $(p_n)$.\columnbreak
		\item On admet dans cette question que la suite $(p_n)$ est croissante. On considère l'algorithme  suivant :

\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
\textbf{Variables}
    K et J sont des entiers naturels
    P est un nombre réel
\textbf{Initialisation}
    P prend la valeur 0
    J prend la valeur 1
\textbf{Entrée}
    Saisir la valeur de K
\textbf{Traitement}
    Tant que P<\nombre{0,05}-10$^\textrm{-K}$
      P prend la valeur 0,2*P+0,04
      J prend la valeur J+1
    Fin Tant que
\textbf{Sortie}
    Afficher J
\end{oldalgorithme}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?

Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

