\begin{exercice*}[D'après Bac][\ExerciceRefMethode{methode2-SP1}]
\label{exmethode2-SP1}
Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une
amande, les autres non :
\begin{itemize}
  \item \upc{30} des dragées contiennent une amande ;
  \item \upc{40} des dragées avec amande sont bleues, les autres sont roses ;
  \item \upc{75} des dragées sans amande sont bleues, les autres sont roses.
\end{itemize}
Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte et on considère les évènements :
\begin{itemize}
  \item $A$ : \og la dragée choisie contient une amande \fg ;
  \item $B$ :  \og la dragée choisie est bleue \fg.%\smallskip
\end{itemize}


  \vspace{-0.25\baselineskip}\begin{minipage}{0.6\linewidth}
 \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
  \item Montrer que $P(A\cap B)=\nombre{0,12}$.
  \item Calculer $P(B)$.
  \item En déduire $P_B(A)$.
\end{enumerate}
 \end{minipage}
 \hfill
 \begin{minipage}{0.4\linewidth}
   \vspace{-0.25\baselineskip}\begin{center}\pstree[treemode=R,labelsep=1mm,levelsep=8ex,treesep=6mm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}	
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	  }

}
\end{center}
 \end{minipage}
 \vspace{-0.7\baselineskip}\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
 \item Calculer $P_{\overline{B}}(A)$.
 \item Sophie préfère les dragées contenant une amande.

  Doit-elle plutôt choisir une dragée bleue ou bien une dragée rose ?
 \end{enumerate}



 \begin{corrige}
 \begin{enumerate}
  \item ~~

  \pstree[treemode=R,labelsep=1mm,levelsep=8ex,treesep=6mm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{\nombre{0,3}}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{\nombre{0,4}}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\nombre{0,6}}	
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\nombre{0,7}}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{\nombre{0,75}}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\nombre{0,25}}
	  }

}\medskip
  \item $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=\nombre{0,3}\times \nombre{0,4}=\nombre{0,12}$
  \item $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)$

  $=\nombre{0,3}\times \nombre{0,4}+\nombre{0,7}\times \nombre{0,75}=\nombre{0,645}
  $.
  \item $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\nombre{0,12}}{\nombre{0,645}}\approx \nombre{0,186}$.
  \item $P_{\overline{B}}(A)=\dfrac{P\left(A\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}
      =\dfrac{\nombre{0,3}\times \nombre{0,6}}{1-\nombre{0,645}}\approx \nombre{0,507}$.
 \item $P_B(A)<P_{\overline{B}}(A)$, il est donc plus probable qu'elle ait une amande si elle choisit une dragée rose : elle doit donc plutôt choisir une dragée rose.
 \end{enumerate}

  \end{corrige}
    \end{exercice*}

