\begin{activite}[Des probabilités sous condition]
\partie[\`A la cantine du lycée]
Dans un lycée, il y a \nombre{359} élèves en Seconde, \nombre{341} en Première et \nombre{354} en Terminale.

\nombre{651} élèves mangent à la cantine du lycée, le tout selon la répartition suivante :
\begin{itemize}
  \item \upc{66} des élèves de Seconde mangent à la cantine ;
  \item \upc{39} des élèves de Première mangent à l'extérieur.
\end{itemize}
On tire au sort un élève du lycée et on considère les évènement suivants :
\begin{colitemize}{2}
  \item $C$ : \og l'élève tiré au sort mange à la cantine \fg
  \item $S$ : \og l'élève tiré au sort est en Seconde \fg
  \item $PR$ : \og l'élève tiré au sort est en Première \fg
  \item $T$ : \og l'élève tiré au sort est en Terminale \fg
\end{colitemize}
Dans la suite, les probabilités seront données sous forme de fractions.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (arrondir à l'entier
  le plus proche) :
  \begin{center}
  \begin{cltableau}{0.7\linewidth}{4}\hline
  & Cantine & Extérieur & Total \\\hline
   Seconde &  &  &  \\\hline
   Première  &  &  &    \\\hline
   Terminale  &  &  &   \\\hline
   Total &  &  & \nombre{1054} \\\hline
  \end{cltableau}
  \end{center}
  \item \begin{enumerate}
          \item Calculer $P(S)$ et $P(C\cap S)$.
          \item On considère la \og définition \fg{} suivante :

           %\vspace{-\baselineskip}
           \begin{cadre}[A1][A4]$A$ et $B$ étant deux évènements donnés (avec $P(B)\neq0$), on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$ c'est-à-dire la probabilité que $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé.

           On dit que $P_B(A)$ est une probabilité conditionnelle.
           \end{cadre}

              Décrire $P_S(C)$ par une phrase puis la calculer.\label{not_proba_cond}
          \item Quel est l'univers associé à $P_S$, c'est-à-dire dans quel ensemble tire-t-on au sort quand  on considère une probabilité sachant $S$ ?
          \item Déterminer un lien entre $P(S)$ et $P(C\cap S)$ et $P_S(C)$.
          \item D'une manière générale, quel lien peut-on alors conjecturer entre $P(B)$, $P(A\cap B)$ et $P_B(A)$ ?\label{form_proba_cond}
        \end{enumerate}
  \item Tester la conjecture précédente avec $P_C\left(T\right)$ et $P_{\overline{C}}\left(PR\right)$.%$P_S\left(\overline{C}\right)$
\end{enumerate}
\vspace{-0\baselineskip}\partie[Avec un arbre pondéré]
Après une enquête menée sur les élèves de ce lycée (qu'ils aillent à la cantine ou non), on a dressé l'arbre pondéré ci-contre où $H$ désigne l'évènement \og l'élève aime les haricots \fg.\smallskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
  \item Certaines des pondérations présentes sur cet arbre sont des probabilités conditionnelles.

      Dire lesquelles et les exprimer avec la notation vue à la question \RefItem{not_proba_cond} de la partie A.
  \item \begin{enumerate}
    \item En admettant la formule conjecturée à la question
      \RefItem{form_proba_cond} de la partie A, exprimer $P_T(H)$ en
      fonction de $P(T)$ et $P(H\cap T)$.
    \item En déduire $P(H\cap T)$ en fonction de $P_T(H)$ et $P(T)$
      puis calculer $P(H\cap T)$.
          \item \mbox{Quelle règle bien connue sur les arbres pondérés retrouve-t-on ?}
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
   \begin{center}
      \pstree[linecolor=A1,treemode=R,labelsep=1mm,treesep=5mm]{\TR{}}
            {
              \pstree[labelsep=1mm,treesep=5mm]{\TR{$S$}\taput{$\frac{\nombre{359}}{\nombre{1054}}$}}
              {
                \TR{$H$}\taput{\nombre{0,68}}
                \TR{$\overline{H}$}\tbput{\nombre{0,32}}
              }
              \pstree[labelsep=1mm,treesep=5mm]{\TR{$PR$}\tbput{$\frac{\nombre{341}}{\nombre{1054}}$}}
              {
                \TR{$H$}\taput{\nombre{0,82}}
                \TR{$\overline{H}$}\tbput{\nombre{0,18}}
              }
              \pstree[labelsep=1mm,treesep=5mm]{\TR{$T$}\tbput{$\frac{\nombre{354}}{\nombre{1054}}$}}
              {
                \TR{$H$}\taput{\nombre{0,37}}
                \TR{$\overline{H}$}\tbput{\nombre{0,63}}
              }
            }	
      \end{center}
\end{minipage}
\end{activite}

