\begin{TP}[D'une humeur aléatoire\hfill\algo\tice]
\partie{En haut, à droite !}
M. Wiener est professeur de mathématiques. Quand il corrige un paquet de copies, il a pris l'habitude de dessiner sur un quadrillage ce qu'il appelle sa \og courbe d'humeur \fg{}, obtenue en partant au départ d'une intersection du quadrillage puis, s'il met une note :
\begin{itemize}
  \item entre 0 et 9, il trace un segment horizontal de 1 carreau vers la droite (son humeur stagne) ;
  \item entre 10 et 20, il trace un segment vertical de 1 carreau vers le haut (son humeur monte).
\end{itemize}
Précisons qu'il ne note qu'avec des nombres entiers.
\begin{enumerate}
  \item Dessiner la courbe d'humeur de M. Wiener après avoir corrigé dans cet ordre des copies ayant obtenu 15-9-3-20-20-12-8-17.
  \item Curieux d'entendre des phrases comme \og Bravo, ma courbe d'humeur a atteint des sommets ! \fg{} ou \og Ma courbe d'humeur est restée beaucoup trop plate à mon goût \fg{}, les élèves de M. Wiener ont écrit l'algorithme ci-dessous avec le logiciel AlgoBox permettant d'obtenir des courbes d'humeur aléatoires pour voir à quoi cela ressemble.


      \begin{minipage}[b]{0.68\linewidth}
      \begin{oldalgorithme}
\textbf{VARIABLES}
   x EST\_DU\_TYPE NOMBRE
   y EST\_DU\_TYPE NOMBRE
   a EST\_DU\_TYPE NOMBRE
   b EST\_DU\_TYPE NOMBRE
   c EST\_DU\_TYPE NOMBRE
   i EST\_DU\_TYPE NOMBRE
   n EST\_DU\_TYPE NOMBRE
\textbf{DEBUT\_ALGORITHME}
   x PREND\_LA\_VALEUR 0
   y PREND\_LA\_VALEUR 0
   LIRE n
   \textbf{POUR i ALLANT\_DE 1 A n}
      \textbf{DEBUT\_POUR}
      a PREND\_LA\_VALEUR x
      b PREND\_LA\_VALEUR y
      c PREND\_LA\_VALEUR ALGOBOX\_ALEA\_ENT(0,20)
      \textbf{SI (c<10) ALORS}
           \textbf{DEBUT\_SI}
           x PREND\_LA\_VALEUR x+1
           \textbf{FIN\_SI}
           \textbf{SINON}
              \textbf{DEBUT\_SINON}
              y PREND\_LA\_VALEUR y+1
              \textbf{FIN\_SINON}
      TRACER\_SEGMENT(a,b)->(x,y)
      \textbf{FIN\_POUR}
\textbf{FIN\_ALGORITHME}\end{oldalgorithme}
      \end{minipage}
 \hfill
 \begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
   \null\vspace{3.5cm}

   On rappelle que \verb"ALGOBOX_ALEA_ENT(n,p)" renvoie un entier au hasard entre $n$ et $p$, chacun des entiers possibles ayant la même probabilité d'être obtenu.
 \end{minipage}


      \begin{enumerate}
        \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous pour $n=4$ si \verb"ALGOBOX_ALEA_ENT(0,20)" renvoie successivement $c=13$, $c=18$, $c=5$ et $c=10$ ; puis dessiner la courbe d'humeur correspondante.
            \begin{tableau}[C]{\linewidth}{6}{>{\centering}m{0.75cm}}\hline
   &  \textbf{Initialisation} &$i=1$ &$i=2$ &$i=3$ &$i=4$  \\\hline
 $a$  &  $\times$ &  & & &  \\\hline
 $b$  &  $\times$ &  & & &  \\\hline
 $c$  & $\times$  &  & & &  \\\hline
 $x$  &   &  & & &  \\\hline
 $y$  &   &  & & &  \\\hline
\end{tableau}
        \item Saisir l'algorithme dans AlgoBox et le faire tourner pour quelques valeurs de $n$ de votre choix.  Pour cela :
             \begin{itemize}
               \item la commande \verb"TRACER_SEGMENT(a,b)->(x,y)" se trouve dans l'onglet \textbf{Dessiner dans un repère} ;
               \item on pourra régler Xmin à 0, Ymin à 0, Xmax à $n$, Ymax à $n$, Graduations X à 1 et Graduations Y à 1.
             \end{itemize}
        \item Les élèves de M. Wiener ont fait tourner plusieurs fois l'algorithme pour $n=35$ (l'effectif de leur classe) et ont constaté que, sur ces essais, la fenêtre de tracé avec $\textrm{Xmin}=0$, ${\textrm{Ymin}=0}$, $\textrm{Xmax}=35$, $\textrm{Ymax}=35$ n'est jamais entièrement utilisée.
        \begin{enumerate}
                \item Expliquer pourquoi.
                \item Justifier que l'abscisse du point d'arrivée suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.

                    En déduire quelle valeur minimale choisir pour Xmax pour  avoir au moins \upc{95} de chance que la courbe d'humeur ne dépasse pas de la fenêtre horizontalement.\label{wiener1}
                \item ~Reprendre la question précédente avec l'ordonnée du point d'arrivée.\label{wiener2}
                \item ~Tester ces valeurs avec le logiciel.
              \end{enumerate}
      \end{enumerate}
  \vspace{-\baselineskip}\item M. Wiener, amusé par l'algorithme de ses élèves, leur dit :

   \og C'est très bien ce que vous avez fait, mais vos notes aléatoires ne sont pas réalistes. Par exemple, dans votre classe, je n'ai pas mis une seule fois de note inférieure ou égale à 5 \fg.
      \begin{enumerate}
        \item Expliquer le problème de l'algorithme que soulève M. Wiener.
        \item Pour pallier le problème, ses élèves lui demandent à combien il estime la probabilité qu'un élève pris au hasard ait la moyenne : il répond qu'en s'appuyant sur les notes récoltées depuis le début de l'année, il estime cette probabilité à \nombre{0,65}.\smallskip

            Modifier l'algorithme en conséquence en utilisant la fonction \verb"random()" (à la place de \verb"ALGOBOX_ALEA_ENT(n,p)") qui renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1.
        \item Reprendre les questions \RefItem{wiener1} et \RefItem{wiener2} avec ce nouvel algorithme et le tester.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{TP}

