\begin{exercice}Le \og paradis de la farce \fg{} est un magasin de farces et attrapes et de déguisements.

Dans l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près si nécessaire.

\partie[\`A Halloween]

Le \og paradis de la farce \fg{} effectue \upc{40} de ses ventes pour Halloween dont \upc{75} de déguisements et \upc{25} de farces et attrapes.

Le reste de l'année, \upc{80} des ventes sont des farces et attrapes et \upc{20} des déguisements.\smallskip

Dans les factures de l'année, on considère une vente prise au hasard et on définit les événements suivants :
\begin{itemize}
  \item $H$ : \og la vente a été réalisée pour Halloween \fg ;
  \item $D$ : \og l'article vendu est un déguisement \fg.
\end{itemize}

\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :

  \begin{center}
            \pstree[treemode=R,labelsep=1mm,levelsep=8ex,treesep=10mm]{\TR{}}
            {
              \pstree[labelsep=1mm,levelsep=8ex]{\TR{$H$}\taput{\ldots}}
              {
                \TR{$D$}\taput{\ldots}
                \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
              }
              \pstree[labelsep=1mm,levelsep=8ex]{\TR{$\overline{H}$}\tbput{\ldots}}
              {
                \TR{$D$}\taput{\ldots}
                \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
              }

            }	
      \end{center}

  \item Déterminer $P\left(\overline{H}\cap D\right)$.
  \item Montrer que $P(D)=\nombre{0,42}$.
  \item Déterminer la probabilité que la vente n'ait pas eu lieu à Halloween sachant que l'article vendu est un déguisement.
\end{enumerate}

\vspace{-3mm}
\partie[Après l'ouverture]

\vspace{1mm}

Le magasin ouvre tous les jours du lundi au samedi à \uh{9}.

Le temps qui s'écoule (en minutes) avant l'arrivée du premier client suit un loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$.
\begin{enumerate}
  \item Déterminer $\lambda$ sachant qu'en moyenne, le premier client arrive à 9\,h\,20.
  \item Déterminer la probabilité que le premier client se présente avant \uh{10}.
  \item Aucun client ne s'est présenté à 9\,h\,30.

  Quelle est la probabilité qu'il n'y ait toujours pas eu de client à 9\,h\,45 ?
\end{enumerate}

\vspace{3mm}
\partie[Boulettes et sarbacane]

\vspace{1mm}

Le magasin dispose d'un stock de boulettes (à mettre dans les sarbacanes) dont \upc{85} sont colorées et les autres blanches.

 Un client se présente et achète un sachet de 250 boulettes prises dans le stock (que l'on suppose suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler le prélèvement à des tirages indépendants).

  On appelle $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence de boulettes colorées dans le sachet.
  \begin{enumerate}
    \item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \upc{95} de $F$.
    \item En déduire un encadrement par deux entiers du nombre de boulettes colorées que l'on peut s'attendre à obtenir dans le sachet au seuil de \upc{95}.
  \end{enumerate}

\partie[Diablotins sautillants]

\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi $\mathscr{N}(\mu\ ;\ \sigma^2)$.

\vspace{2\baselineskip}

  \`A l'aide d'une calculatrice, déterminer le réel $a$ tel que $P(X\leqslant \mu+a\sigma)=\nombre{0,99}$.\smallskip

  Dans la suite, on prendra $a=\nombre{2,3}$.
  \item Le jouet star de cette année est un diablotin en boîte (quand on ouvre la boîte, un diablotin sur ressort jaillit de la boîte !).

      On appelle $X$ la variable aléatoire donnant la hauteur (en cm) à laquelle s'élève le diablotin quand on ouvre la boîte et on suppose que $X$ suit une loi normale $\mathscr{N}(\mu\ ;\ 2)$ avec $\mu\in\R^{+*}$.
      \begin{enumerate}
        \item  \`A cause d'un problème de conception, le jouet se casse si $X$ est supérieure à deux fois son espérance $E(X)$.\smallskip


  Déterminer $\mu$ pour que la probabilité que le jouet ne se casse pas lors d'une utilisation soit de \nombre{0,99}.
  \item Quelle est alors la probabilité que le diablotin s'élève entre \ucm{7} et \ucm{10} ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

