\begin{exercice}
Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, représenté ci-dessous.
Les points $I$ et $J$ sont définis par $\overrightarrow{BI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{EJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EH}$.


Le point $K$ est le milieu du segment $[IJ]$ et le point $P$ est le projeté orthogonal de $G$ sur $(FIJ)$.


Le but de l'exercice est de construire le point $P$.

\begin{center}
	\def \dx {-0.4}
	\def \dy {-0.3}
	\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,\dy); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,\dy); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,1+\dy); \draw (F) node[left] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,1+\dy); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	\coordinate (I) at (2/3+\dx,\dy); \draw (I) node[below] {$I$};
			\draw (I) node {$\times$};
	\coordinate (J) at (2/3,1); \draw (J) node[above] {$J$};
			\draw (J) node {$\times$};
	\coordinate (K) at (2/3+\dx/2,1/2+\dy/2); \draw (K) node[left] {$K$};
			\draw (K) node {$\times$};
	%arêtes
	\draw (F)--(B)--(C)--(D)--(H)--(G)--(C); \draw (G)--(F)--(E)--(H);
	\draw[dashed] (A)--(B); \draw[dashed] (A)--(D); \draw[dashed] (A)--(E);
	%[IJ]
	\draw[thin, dashed] (I)--(J);
	\end{tikzpicture}
\end{center}



\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $(KFG)$ est le plan médiateur du segment $[IJ]$.
  \item En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à $(FGK)$.
  \item Démontrer que $(IJ)$ est orthogonale à $(FGP)$.
  \item Démontrer que $P \in (FGK)$.
  \item En déduire que les points $F$, $P$ et $K$ sont alignés.
 \end{enumerate}

 \item On se place dans le repère orthonormé $\left(A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ et on appelle $N$ le point d'intersection de la droite $(GP)$ et du plan $(ABD)$. Il existe donc deux réels $x$ et $y$ tels que $N(x\ ;\ y\ ;\ 0)$. Le but de cette question est de déterminer les coordonnées du point $N$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées des points $F$, $G$, $I$ et $J$.
  \item Montrer que la droite $(GN)$ est orthogonale aux droites $(FI)$ et $(FJ)$.
  \item Exprimer les produits scalaires $\overrightarrow{GN} \cdot \overrightarrow{FI}$ et $\overrightarrow{GN} \cdot \overrightarrow{FJ}$ en fonction de $x$ et $y$.
\item En déduire les valeurs de $x$ et de $y$.
\end{enumerate}
\item Reproduire la figure et construire le point $P$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


