\begin{exercice}[Travail sur la logique - D'après Bac (Nouvelle-Calédonie - 2015)]
Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $(P_1)$ et
$(P_1)$ suivantes :
\[
(P_1)
\qquad
(x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)
\]
\vspace{-0\baselineskip}
\[
(P_2)
\qquad
\left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)
\]

\partie
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
 \item Que peut-on dire de $(P_2)$ par rapport à $(P_1)$ ?
 \item L'implication $(P_2)$ est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\vspace{-1\baselineskip}\partie
Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le
repère orthonormé $\left(A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$.
\begin{center}
	\def \dx {+0.4}
	\def \dy {-0.3}
	\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
	%points
	\coordinate (A) at (0,0); \draw (A) node[above left] {$A$};
	\coordinate (B) at (\dx,\dy); \draw (B) node[below left] {$B$};
	\coordinate (C) at (1+\dx,\dy); \draw (C) node[below] {$C$};
	\coordinate (D) at (1,0); \draw (D) node[above right] {$D$};
	\coordinate (E) at (0,1); \draw (E) node[above left] {$E$};
	\coordinate (F) at (\dx,1+\dy); \draw (F) node[above] {$F$};
	\coordinate (G) at (1+\dx,1+\dy); \draw (G) node[right] {$G$};
	\coordinate (H) at (1,1); \draw (H) node[above right] {$H$};
	%arêtes
	\draw (A)--(B)--(F)--(E)--(A);
	\draw (E)--(H)--(G)--(F);
	\draw (B)--(C)--(G);
	\draw[dashed] (H)--(D)--(A); \draw[dashed] (D)--(C);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-1.5\baselineskip}\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
   \item Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).
   \item Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
   \item Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point
$K$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\right)$.
  \end{enumerate}

 \item Quelle est la nature du triangle $BDE$ ?
 \item Soit $M$ un point de l'espace.
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
   \item En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant  AK^2$.
   \item Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question
précédente au point $M$ de coordonnées $(x\ ; y\ ; z)$, montrer que l'implication $(P_1)$
est vraie.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


