\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole - 2012)]
\partie
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1\ ;\ +\infty[$ par :
$$f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right).$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1\ ;\ +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{1}{x(x+1)^2}$.

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1\ ;\ +\infty[$.
\end{enumerate}
\partie
On considère la suite $u$ définie pour tout entier strictement positif $n$ par :
$$u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}-\ln n.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,
$$u_{n+1}-u_{n}=f(n)$$
où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier strictement positif.

Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k+1}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{x}\right)\,\textrm{d}x \geqslant 0$.

En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\,\textrm{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$.

Démontrer l'inégalité 	$\ln(k + 1)-\ln k\leqslant\dfrac{1}{k}$ \quad (1).
		\item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,
$$\ln (n + 1)\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n}.$$
		\item En déduire que pour tout entier strictement positif $n$, $u_{n} \geqslant  0$.
	\end{enumerate}
\item  Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
\end{enumerate}

\end{exercice}


