

\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles-Guyane - 2013)]
\partie
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
\vspace{-0.5\baselineskip}$$f(x) = (x+1)\text{e}^{x}.$$

\vspace{-0.5\baselineskip}Dresser le tableau de variations complet de $f$.
\partie
On définit la famille de fonctions $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par :
\vspace{-0.5\baselineskip}$$g_m(x) = x+1 - m\text{e}^{-x}$$

\vspace{-0.5\baselineskip}et on note $\mathscr{C}_m$ la courbe de $g_m$ dans un repère $(O\,; \vv{i}\,; \vv{j})$ du plan.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x) = m$.
  \item Déduire de la partie \textbf{A} le nombre de points d'intersection entre la courbe $\mathscr{C}_m$ et l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
 \end{enumerate}

 \item Ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_{\text{e}}$ et $\mathscr{C}_\text{-e}$.

 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, xscale=0.7, yscale=0.67]
   \draw [quadrillage] (-2,-3) grid (5,6);
   \draw[->] (-2,0)--(5,0);
   \draw[->] (0,-3)--(0,6);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$0$};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {$1$};
   \draw[color=black] (0,1) node[left] {$1$};
   \draw[domain=-2:5, color=B1, smooth, epais] plot(\x,{\x+1});
   \draw[domain=-0.3:4, color=J1, smooth, epais] plot(\x,{\x+1-exp(-\x+1)});
   \draw[domain=-0.75:4, color=H1, smooth, epais] plot(\x,{\x+1+exp(-\x+1)});
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

 Identifier chacune de ces courbes, en justifiant.

 \item Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}_m$ par rapport à la droite $(d)$ d'équation $y = x+1$ selon les valeurs de $m$.

 \item À partir de cette question, $a$ désigne un réel positif et on appelle $\mathscr{D}_a$ le domaine du plan compris entre $\mathscr{C}_{\text{e}}$ et $\mathscr{C}_\text{-e}$, l'axe $(Oy)$ et la droite d'équation $x=a$. Enfin, on désigne par $\mathscr{A}(a)$ l'aire de $\mathscr{D}_a$, exprimée en unités d'aires.
 \begin{enumerate}
  \item Hachurer $\mathscr{D}_2$ et calculer son aire.
  \item Démontrer que pour tout réel positif $a$ :\linebreak $\mathscr{A}(a) = 2\text{e} - 2\text{e}^{1-a}$.
  \item Déterminer la limite de $\mathscr{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


