\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = 1 - \dfrac{4\e^x}{\e^{2x} + 1}$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}$. Elle coupe l'axe des abscisses aux points A et B.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none](0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,xticksize=0 1cm]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](1.317,0){A}\uput[dl](-1.317,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=H1]{-4.5}{4.5}{1 2.71828 x exp 4 mul 1 2.71828 2 x mul exp add div sub}
\uput[d](-4,0.9){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\columnbreak

\partie{}

L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction $f$ que l'on peut conjecturer à partir du graphique.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ semble croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout reel $x,\, f'(x) = \dfrac{4\e^{x}\left(\e^{2x} - 1\right)}{\left(\e^{2x} + 1 \right)^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item La droite d'équation $x = 0$ semble être un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.

Démontrer que cette conjecture est vraie.
\item On désigne par $a$ l'abscisse du point A et on pose $c = \e^a$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le réel $c$ est une solution de l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$.

En déduire la valeur exacte de $a$.
		\item Donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{}

L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$F(x) = \int_{0}^x  f(t)dt$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\mathbb{R}$.
\item Interpréter géométriquement le réel $F(a)$. En déduire que $- a \leqslant  F(a) \leqslant  0$.
\item On cherche la limite éventuelle de $F$ en $+\infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel positif $t, f(t) \geqslant  1 - 4\e^{- t}$.
		\item En déduire que pour tout réel positif $x,\, F(x) \geqslant  x - 4$ et déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
\end{enumerate}
\end{exercice} 


