\begin{exercice}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par :
$ f(x) = x\e^{1 - x}$ et $g(x) = x^2\e^{1 - x}$.

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sont respectivement notées $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.

\begin{center}
  \psset{unit=.8cm}
  \begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
    \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=A3](-3,-3)(4,4)
    \psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-3,-3)(4,4)
    \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-3)(4,4)
    \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=B2]{-0.606}{4}{x
      2.71828 x 1 sub exp div}
    \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=H1]{-0.81}{4}{x
      dup mul 2.71828 x 1 sub exp div} \uput[dl](0,0){O}
    \uput[l](-0.5,-2){$\mathcal{C}$} \uput[l](-0.53,2){$\mathcal{C}'$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude des fonctions  $f$  et $g$ }
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $- \infty$.
		\item Justifier le fait que fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $0$ en $+ \infty$.
		\item Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et $g$ et dresser leurs tableaux de variation respectifs.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Calcul d'intégrales}

Pour tout entier naturel $n$, on définit l'intégrale $I_{n}$ par :

$I_{n} = \int_{0}^1 x^{n} \e^{1 - x} dx$ (en particulier $ I_{0} = \int_{0}^1 \e^{1 - x}dx$).

\vspace{-\baselineskip}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $I_{0}$.
		\item Pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$, on pose $g_{n}(x)=x^n\e^{1-x}$ (en particulier $g_{0}=\e^{1-x}$).\\
Établir que pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$, $g'_{n+1}(x)=(n+1)g_{n}(x)-g_{n+1}(x)$.\\
En déduire que pour tout entier naturel $n$:
		
$I_{n+1} = - 1 + (n + 1)I_{n}.$		
		\item En déduire la valeur exacte de $I_{1}$, puis celle de $I_{2}$.
	\end{enumerate}

\columnbreak

\item \textbf{Calcul d'une aire plane}

\vspace{-\baselineskip}
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
		
En exprimant $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité :

$\mathcal{A} = 3 - \e.$
	\end{enumerate}

\item \textbf{Étude de l'égalité de deux aires}

Soit $a$ un réel strictement supérieur à  1.

On désigne par $S(a)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, d'autre part entre les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = a$.

On admet que $S(a)$ s'exprime par :

$S(a) = 3 - \text{e}^{1 - a}\left(a^2 + a + 1\right)$.\\

L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de $a$ pour laquelle les aires $\mathcal{A}$ et $S(a)$ sont égales.

\vspace{-\baselineskip}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $S(a) = \mathcal{A}$ est équivalente Ã  l'équation :
		
$\e^a = a^2 + a + 1$.
		\item \emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel $a$, solution du problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


