

\begin{exercice}[D'après Bac (Asie - 2013)]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\vspace{-0.5\baselineskip}$$f(x) = \text{e}^x \quad \text{et} \quad g(x) = 1-\text{e}^{-x}.$$

\vspace{-0.5\baselineskip}Ci-dessous, on donne les courbes représentatives de ces deux fonctions :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, xscale=0.5, yscale=0.5]
   \draw [quadrillage] (-5,-3) grid (5,5);
   \draw[->] (-5,0)--(5,0);
   \draw[->] (0,-3)--(0,5);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$0$};
   \draw[color=black] (1,0) node[below] {$1$};
   \draw[color=black] (0,1) node[left] {$1$};
   \draw[domain=-5:1.6, color=B1, smooth, epais] plot(\x,{exp(\x)});
   \draw[color=B1] (-1.5,1.5) node {{\boldmath $\mathscr{C}_f$}};
   \draw[domain=-1.38:5, color=J1, smooth, epais] plot(\x,{1-exp(-\x)});
   \draw[color=J1] (2.5,1.5) node {{\boldmath $\mathscr{C}_g$}};
 \end{tikzpicture}
\end{center}

Graphiquement, ces deux courbes semblent admettre deux tangentes communes.\\
Notons $(\mathscr{T})$ une droite qui est à la fois tangente à $\mathscr{C}_f$ en un point d'abscisse $a$ et à $\mathscr{C}_g$ en un point d'abscisse $b$.

\partie[Analyse]
Dans cette partie, on va analyser la situation et trouver des conditions nécessaires sur $a$ et $b$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Déterminer en fonction de $a$ une équation de $(\mathscr{T})$.
  \item Déterminer en fonction de $b$ une équation de $(\mathscr{T})$.
  \item En déduire que, d'une part, $a=-b$ et que d'autre part, $a$ est solution de l'équation :
  \vspace{-0.5\baselineskip}$$2(x-1)\text{e}^{x} + 1 = 0.$$
 \end{enumerate}
 \vspace{-0.5\baselineskip}\item On pose $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par\linebreak $\varphi(x) = 2(x-1)\text{e}^{x} + 1$.
 \begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de variation complet de $\varphi$.
  \item En déduire que le réel $a$ possède deux valeurs possibles.
  \item À l'aide de la calculatrice, donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ de ces valeurs.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[Synthèse]
Dans cette partie, on va effectuer la synthèse du raisonnement et montrer qu'il suffit que $a$ et $b$ satisfassent les deux conditions trouvées pour que $(\mathscr{T})$ soit tangente à la fois à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.\\
Soient donc $a$ et $b$ deux réels tels que $a=-b$ et
$2(a-1)\text{e}^{a} + 1 = 0$.

\columnbreak

Démontrer que l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en un point d'abscisse $a$ est identique à l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_g$ en un point d'abscisse $b$.
\end{exercice}


