\begin{exercice}[D'après Bac (Polynésie - 2012)]
\partie
On considère l'algorithme suivant :

%\begin{algorithme}
%\BlocVariables
%\DeclareVar{U}{réel}{}
%\DeclareVar{k,N}{entiers}{}
%\BlocTraitement
%\Afficher{Saisir le nombre entier naturel non nul N}
%\Demander{N}
%\DonnerValeurImmediate{U}{0}
%\Pour{k}{0}{N-1}
%{
%\DonnerValeurImmediate{U}{3U-2k+3}
%}
%\BlocSortie
%\AfficherVar{U}
%\end{algorithme}

      \begin{oldalgorithme}
\textbf{Entrée}
Saisir le nombre entier naturel non nul $N$
\textbf{Traitement}
Affecter à $U$ la valeur 0
Pour $k$ allant de 0 à $N-1$
    Affecter à $U$ la valeur $3u-2k+3$
Fin pour
\textbf{Sortie}
Afficher $U$
\end{oldalgorithme}


Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

\partie
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-n+1$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\linebreak $u_n=3^n+n-1$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
		
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait $u_n\geqslant 10^p$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


