\begin{exercice}
On considère la suite définie par $u_0=\ln(2)$ et $u_{n+1}=\ln\left(2\textrm{e}^{u_n}-1\right)$ pour tout entier $n\geqslant 0$.
On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$.

\partie
Dans cette question on utilisera les \textbf{prérequis} suivants :
\begin{itemize}
\item On dit qu'une suite $(v_n)$ est non majorée si pour tout réel $M$, il existe un entier $n_0$ tel que $v_{n_0}>M$ ;
\item la définition d'une suite croissante ;
\item la définition d'une suite qui tend vers $+\infty$.
\end{itemize}

Démontrer la propriété suivante :

Si une suite $(v_n)$ est croissante et non majorée alors $(v_n)$ a pour limite $+\infty$.



\partie
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\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par ${f(x)=\ln(2\textrm{e}^x-1)}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R^+$.
\end{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant u_{n} \geqslant 0$ pour tout $n\geqslant 0$.
\item Dans cette question on va montrer que la suite $(u_n)$ n'est pas majorée en raisonnant par l'absurde. On suppose donc dans cette question que la suite $(u_n)$ est majorée.
\begin{enumerate}
\item En déduire que $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
\item En admettant que la limite $\ell$ vérifie ${\ell=\ln(2\textrm{e}^{\ell}-1)}$, déterminer $\ell$.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ ne peut pas être majorée.
\end{enumerate}
\item En déduire $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n$.\label{A1_synt1}
\end{enumerate}

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\partie


On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\textrm{e}^{u_n}-1$ pour tout entier $n\geqslant 0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2 dont on déterminera le premier terme.
\item En déduire que $u_n=\ln\left(1+2^n\right)$.
\item Retrouver d'une autre manière la limite de la question \RefItem{A1_synt1} de la partie B.
\item Déterminer la valeur de $a$ telle que

$\displaystyle \sum_{k=0}^{5} u_k=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_5=\ln(a)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


