\begin{exercice}[Intégrales de Wallis]
John Wallis est un mathématicien anglais, né en 1616, mort en 1703.\\
On appelle intégrales de Wallis les termes de la suite $(W_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
\[
W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \, \mathrm{d}t
\]
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(W_n)$ est convergente.

 \item \begin{enumerate}
  \item Pour des valeurs de $n$ comprises entre 1 et 100, représenter graphiquement, à l'aide d'un logiciel approprié, la suite de fonctions $(x \mapsto \sin^n x)$.
  \item Que peut-on conjecturer sur la limite de $(W_n)$ ?
 \end{enumerate}

 \item On souhaite démontrer cette conjecture, c'est-à-dire que $W_n$ est aussi proche de 0 que l'on veut, dès que $n$ est suffisamment grand.\\
 En d'autres termes, cela revient à montrer que pour tout réel $\varepsilon > 0$ (de préférence petit) $W_n \leqslant \varepsilon$ dès que $n \geqslant n_0$, $n_0$ étant à déterminer.
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on souhaite découper $W_n$ en deux de telle sorte que :
  \[
  W_n \leqslant a\sin^n a + \dfrac{\varepsilon}{2}.
  \]
  En observant à nouveau l'évolution de la suite de fonction $(x \mapsto \sin^n x)$, où est-il astucieux de choisir un réel $a \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2} \right[$ permettant d'obtenir la majoration ci-dessus ?
  \item Démontrer algébriquement cette inégalité en précisant l'intervalle auquel appartient $a$.
  \item Démontrer qu'il existe un réel $n_0$ répondant au problème posé et conclure.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


