\section{\MotDefinition{Équation cartésienne d'un plan}{}}
\begin{propriete}[Caractérisation algébrique d'un plan]
Soit $M(x\,; y\,; z)$ un point de l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$.
\begin{itemize}
 \item Si $M$ appartient à un plan $(\mathscr{P})$, alors ses coordonnées vérifient une relation du type :
 \centerline{$ax+by+cz+d=0$,}
 avec $a$, $b$ et $c$ des réels non simultanément nuls.
\item Réciproquement :\\
  L’ensemble des points $M(x\,; y\,; z)$ de l’espace vérifiant une
  relation du type $ax+by+cz+d=0$, avec $a$, $b$ et $c$ non
  simultanément nuls est un plan, que l’on note $(\mathscr{P})$.
\end{itemize}
On dit que $(\mathscr{P})$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$, appelée équation cartésienne du plan et de plus, $\vv{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $(\mathscr{P})$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
 \item Soit $(\mathscr{P})$ un plan passant par un point $A(x_0\,; y_0\,; z_0)$ et de vecteur normal $\vv{n}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$.\\
 $M$ appartenant à $(\mathscr{P})$, les vecteurs $\vv{AM}$ et $\vv{n}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire analytiquement :\\
 \centerline{$(x-x_0)\alpha + (y-y_0)\beta + (z-z_0)\gamma = 0$}\\
 ou encore, en développant :\\
 \centerline{$\alpha x + \beta y + \gamma z -\alpha x_0 - \beta y_0 + \gamma z_0 = 0$.}\\
 Cette dernière égalité est bien de la forme annoncée en posant $a = \alpha$, $b = \beta$, $c = \gamma$ et $d = -\alpha x_0 - \beta y_0 + \gamma z_0$.
 
 \item $a$, $b$ et $c$ n'étant pas simultanément nuls, il existe $A(x_0\,; y_0\,; z_0)$ tel que $ax_0+by_0+cz_0+d=0$ :
 \begin{itemize}
  \item si $a \neq 0$, alors le triplet $\left(-\dfrac{d}{a}\,; 0\,; 0 \right)$ vérifie l'égalité $ax+by+cz+d=0$ ;
  \item si $a = 0$, on peut procéder de façon similaire puisqu'alors $b \neq 0$ ou $c \neq 0$.
 \end{itemize}
  Les coordonnées du point $M$ vérifiant aussi l'égalité, on en déduit que :\\
  \centerline{$ ax+by+cz+d = ax_0+by_0+cz_0+d$,}\\
  ce qui peut aussi s'écrire : $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.

  Cette dernière égalité n'étant rien d'autre que la traduction
  analytique de l'orthogonalité entre les vecteurs $\vv{AM}$ et
  $\vv{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
  ($\vv{n} \cdot \vv{AM} = 0$), on en déduit, d'après la propriété
  précédente, que $M$ appartient au plan passant par $A$ et de vecteur
  normal $\vv{n}$.
\end{itemize}
\end{preuve}


\begin{exemple*1}
On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O\,; \vv{i}, \vv{j}, \vv{k})$.\\
\parbox[b][10em][t]{0.69\textwidth}{\vspace{-0.5em}
\begin{itemize}
 \item Le plan $(OJK)$ a pour équation $x=0$ et admet pour vecteur normal le vecteur $\vv{i}$.
 \item Le plan $(OIK)$ a pour équation $y=0$ et admet pour vecteur normal le vecteur $\vv{j}$.
 \item Le plan $(OIJ)$ a pour équation $z=0$ et admet pour vecteur normal le vecteur $\vv{k}$.
\end{itemize}}
\parbox[b][10em][t]{0.28\textwidth}{\vspace{-2em}
 	\def \dx {-0.4}
 	\def \r {0.3}
 	\begin{flushright}
	\begin{tikzpicture}[general, scale=2]
	%points
	\coordinate (O) at (0,0); \draw (O) node[below right] {$O$};
	\coordinate (J) at (1,0); \draw (J) node[right] {$J$};
	\coordinate (I) at (\dx,-0.5); \draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (K) at (0,1); \draw (K) node[above] {$K$};
	%vecteurs
	\draw[very thick, ->] (O)--(I);
	\draw[very thick, ->] (O)--(J);
	\draw[very thick, ->] (O)--(K);
	%noms des vecteurs
	\draw (\dx/2,-0.25) node[above left] {$\vv{i}$};
	\draw (0.5,0) node[above] {$\vv{j}$};
	\draw (0,0.5) node[left] {$\vv{k}$};
	%plans
	\fill[color=A1,opacity=0.3] (O)--(J)--(K);
	\fill[color=C1,opacity=0.3] (O)--(I)--(K);
	\fill[color=D1,opacity=0.3] (O)--(I)--(J);
	\end{tikzpicture}
 	\end{flushright}}
\end{exemple*1}


