\begin{propriete}
Soient $\vv{n}$ un vecteur non nul, $A$ un point et $(\mathscr{P})$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vv{n}$. Alors un point $M$ appartient à $(\mathscr{P})$ si et seulement si $\vv{n} \cdot \vv{AM} = 0$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
 \item Si $M$ appartient à $(\mathscr{P})$ alors $\vv{AM}$ est un vecteur de $(\mathscr{P})$ et est donc orthogonal à $\vv{n}$.
 \item Réciproquement, soit $M$ un point de l'espace tel que $\vv{n} \cdot \vv{AM} = 0$. Considérons $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(\mathscr{P})$. Alors $\vv{n} \cdot \vv{AM} = \vv{n} \cdot (\vv{AH} + \vv{HM}) = \vv{n} \cdot \vv{AH} + \vv{n} \cdot \vv{HM}$.\\
 D'une part, $\vv{AH}$ est contenu dans $(\mathscr{P})$, donc $\vv{n}$ et $\vv{AH}$ sont orthogonaux et ainsi $\vv{n} \cdot \vv{AH} = 0$.\\
 D'autre part, $\vv{HM}$ et $\vv{n}$ sont colinéaires et donc $\vv{n} \cdot \vv{HM} = \left\Vert{}\vv{n}\right\Vert{} \times HM$ ou $-\left\Vert{}\vv{n}\right\Vert{} \times HM$.\\
 On en déduit donc que $\left\Vert{}\vv{n}\right\Vert{} \times HM = 0$ et ainsi, puisque $\vv{n} \neq \vv{0}$, $HM = 0$ : le point $M$ est confondu avec le point $H$, il appartient donc à $(\mathscr{P})$.
\end{itemize}
\end{preuve}

